handschriftliche Integralberechnung in einem Intervall
Auf den letzten Seiten hast du gelernt, wie du mithilfe der Stammfunktion die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse von 0 bis zu einem beliebigen Wert und in einem beliebigen Intervall berechnen kannst. Bei letzterem hast du jedoch die eigentliche Aufgabe in viele kleinere Aufgaben aufgeteilt:
- Stammfunktion bilden
- Wert der Stammfunktion an der unteren Grenze berechnen
- Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze berechnen
- Flächenwert der unteren Grenze vom Flächenwert der oberen Grenze subtrahieren.
Diese ganzen Teilschritte kann man aber auch in einer zusammenhängenden Rechnung bzw. Zeile berechnen. Hierfür ist es notwendig, einen noch wichtigen Zwischenschritt kennen zu lernen.
Als Beispiel soll folgende Aufgabe betrachtet werden:
Bestimme die Fläche zwischen der x-Achse und der Funktion in Intervall .
Zuerst musst du wieder die Stammfunktion von bestimmen:
Anstatt aber nun und einzeln zu berechnen und diese Werte voneinander abzuziehen, schreibst du folgendes auf:
Was ist hier zu sehen?
- Der Ausdruck vor dem ersten Gleichheitszeichen ist die Aufgabe.
- Danach folgt ein Ausdruck in eckigen Klammern. Wenn du dir den Inhalt der eckigen Klammern ansiehst, fällt dir auf, dass es sich hierbei um die Stammfunktion handelt. Um jedoch zu kennzeichnen, dass dies bereits die integrierte Funktion ist, die allerdings noch in den Grenzen von 1 bis 3 ausgewertet werden soll, werden hier diese eckigen Klammern gesetzt.
- Anschließend werden die Grenzen in die Stammfunktion eingesetzt und direkt voneinander abgezogen.
- Zuletzt werden die Ergebnisse vereinfacht und berechnet.
Aufgabe
Berechne von folgenden Funktionen die Integrale auf den gegebenen Intervallen mithilfe der neu eingeführten Schreibweise handschriftlich.
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