a + b + c < 360°
Soit un triangle sphérique . Par définition, on sait que ses côtés sont compris dans l'intervalle . Bêtement, l'on trouve que
Mais l'on peut faire mieux.
En passant par un tétraèdre
Les trois sommets avec le centre de la sphère forment un tétraèdre. Puisque les côtés du triangle sphérique sont des angles au centre de la sphère, les côtés du triangle sphérique sont les trois angles au sommet du tétraèdre.
Comme on le voit sur l'appliquette ci-dessous, si l'on écrase le point sur le plan et qu'on regarde ce plan de haut, on constate que :
Or, à mesure que s'élève le point au-dessus du plan, les angles , et deviennent de plus en plus petits. On a donc, dans un tétraèdre, que
Puisque ces angles sont les longueurs des côtés de notre triangle sphérique, on conclut que