Gauß: Mehr als 2 Variablen
Anzahl der Variablen
Im Folgenden werden alle Rechnungen an Hand von drei Variablen erläutert. Die Verfahren lassen sich aber auch auf Gleichungssysteme mit mehr als drei Variablen anwenden
Ein besonders günstiger Fall:
Betrachten Sie das Gleichungssystem
Dieses Gleichungssystem hat eine sogenannte Dreiecksform, das ist auch in der erweiterten Koeffizientenmatrix sehr schön zu sehen:
Hier bilden die Koeffizienten, die nicht Null sind, ein Dreieck.
Dieses Gleichungssystem ist besonders einfach zu lösen: Berechnen Sie erst die Variable , dann setzen Sie dieses in die zweite Gleichung ein und berechnen . Danach verwenden Sie die berechneten Werte für und , um mit der ersten Gleichung das auszurrechnen.
Die Lösung eines Dreiecks-Systems ist ganz einfach:
Lösen Sie oben stehendes Gleichungssystem
Lösungsstrategie - Dreiecksmatrix
Wenn es uns also gelingt, beliebige Gleichungssysteme in eine Dreiecksform zu bringen, dann ist die Lösung ganz einfach. Glücklicherweise lässt sich fast jedes Gleichungssystem in eine Dreiecksform bringen. Das macht man mit dem sogenannten Gauß-Algorithmus.
Der Gauß-Algorithmus - die Schreibweise
Das Ziel des Gauß-Algorithmus ist, ein beliebiges Gleichungssystem in ein Dreieckssystem zu überführen. Um dabei etwas weniger Schreibarbeit zu haben, werden wir nun grundsätzlich alle Gleichungssysteme in Form einer erweiterten Koeffizientenmatrix schreiben. Das heißt wir schreiben zum Beispiel
das Gleichungssystem
als Koeffizientenmatrix
Da wir die Gleichungen im Weiteren verändern werden, ist es gut, den drei Gleichungen Namen zu geben, zum Beispiel , und :
Der Gauß-Algorithmus - Folgendes ist erlaubt
G1: Eine Gleichung (d.h. eine Zeile in der Koeffizientenmatrix) darf mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl geteilt werden
G2: Eine Gleichung darf zu einer anderen addiert oder subtrahiert werden
G3: Die Reihenfolge der Gleichungen darf verändert werden
Der Gauß-Algorithmus - eine von vielen Strategien:
Es gibt viele mögliche Strategien bei der Lösung des Gaußsystems. Je mehr Aufgaben man davon gelöst hat, desto mehr Varianten wird man entdecken. Mit guter mathematischer Intuition kann man sich die Rechenarbeit dabei stark vereinfachen.
Hier soll ein Weg beschrieben werden, der immer funktioniert und daher keine besondere Intution voraussetzt. Diese Lösungsmethode führt zwar dazu, dass fast immer Brüche verwendet werden müssen, aber dafür braucht man nicht lange über die einzelnen Rechenschritte nachzudenken:
Teile jede Gleichung so, dass auf der linken oder der rechten Seite nur noch Einsen stehen:
Gegeben ist das Gleichungssystem von oben. Als ersten Schritt machen wir in der linken Spalte jede Zahl zu einer 1
Danach werden die zweite und die dritte Zeile jeweils von der ersten Zeile abgezogen, damit die erste Zahl zu einer Null wird:
Nun werden die zweite und die dritte Zeile so verändert, dass in der zweiten Spalte jeweils eine 1 steht, die Nullen in der ersten Spalte müssen dabei erhalten bleiben. Daher darf Gleichung im weiteren nicht mehr verwendet werden:
Wenn jetzt die zweite von der dritten Zeile abgezogen wird, dann haben wir unsere gesuchte Dreiecksmatrix:
Nun noch aus dem letzten Koeffizienten der Gleichung eine machen und wir können das Ergebnis für schon ablesen:
Denken Sie nun daran, dass die erweiterte Koeffizientenmatrix nur eine abgekürzte Schreibweise für unser Gleichungssystem ist:
Aus folgt:
Dieses in einsetzen führt zu
und in einsetzen:
Üben des Gauß-Algorithmus
Lösung mit Diagonalmatrix
Man kann auch die gesamte Lösung über die Matrizenumformungen erhalten, indem man die Koeffizientenmatrix in eine Einheitsmatrix umformt:
Sehen wir uns die Dreiecksmatrix an, die wir oben über dem Applet berechnet haben:
Nun kann man die Lösungen für , und ganz einfach rechts neben dem senkrechten Strich der erweiterten Koeffizientenmatrix ablesen: , und .
Man nennt eine so weit vereinfachte erweiterte Koeffizientenmatrix Matrix in Treppennrmalform.
Andere Lösungsvariante des Gaußsystems
"Turbo-Gauß"
Lösung mit Determinanten
Hier ist noch eine weitere Lösungsmethode, wie sie oft erst in Hochschulen gelehrt wird. Die Lösung von Gleichungssystemen mit sogenannten Determinanten hat einen großen Vorteil: Man kann ein eindeutiges Rezept vorgeben, das genau so immer angewendet werden kann. Deshalb kann man diese Lösungsmethode beim Programmieren sehr gut verwenden, um ein Programm zu schreiben, das lineare Gleichungssysteme löst.
Allerdings funktioniert diese Methode nur, wenn es genau so viele Gleichungen wie Variablen gibt und wenn es genau eine Lösung für das Gleichungssystem gibt. Bei einer Funktionssysnthese sind diese Bedingungen so gut wie immer erfüllt.
