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Elliptische Differentialgleichung, bizirkulare Quartiken

Author:Walter Füchte
 Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (22.06.2023)
Im Geradenraum - also in der LIE-Algebra der Möbiusgruppe SO(3,ℂ) - liege eine 2.-te symmetrische Bilinearform vor, gegeben durch eine selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung mit . Damit ist eine 2. te quadratische Form und neben der Möbiusquadrik QM eine 2. Quadrik verbunden. Die beiden Quadriken schneiden sich in 4 - möglicherweise zusammenfallenden - SCHNITTPUNKTEN, die wir im Vorangegangenen als Brennpunkte bezeichnet hatten. Die Charakterisierung der möglichen Fälle ist einfach, da keine Fallunterscheidungen zwischen reellen und nicht-reellen Nullstellen nötig sind:
  • 4 verschiedene SCHNITTPUNKTE
    • absolute Invariante der 4 PUNKTE nicht reell
    • absolute Invariante reell: und die Sonderfälle:
  • 2 einfache SCHNITTPUNKTE und ein doppelter, also ein BERÜHRPUNKT (konfokale Mittelpunktskegelschnitte)
  • 2 doppelt zählende SCHNITTPUNKTE (elliptisch/hyperbolisches Kreisbüschel)
  • 1 einfacher und ein 3-facher SCHNITTPUNKT (konfokale Parabeln)
  • ein vierfach-zählender BERÜHRPUNKT (parabolisches Kreisbüschel)
Man bewege Sie die PUNKTE im Applet.
Es sei eine selbstadjungierte Abbildung mit . Das charakteristische Polynom bedeutet für : . Wir suchen "Wurzeln" von . Damit ist folgendes gemeint: Die Schar stimmt auf der Möbiusquadrik in mit überein. Als Wurzel von bezeichnen wir eine selbstadjungierte Abbildung mit . Auflösung der Suche:
  • Die Schar ,
besteht aus allen Wurzeln von . Man kann nachrechnen, dass mit gilt. Welche geometrische Bedeutung diese einem quadratischen Vektorfeld zugeordneten komplexen Quadrikscharen für den Fall besitzen, dass die absolute Invariante nicht-reell ist, können wir nicht beantworten. Aber: Ist die absolute Invariante eines quadratischen Vektorfeldes reell, dann gelten folgende Aussagen:
  • Bei geeigneter Normierung besitzt in einer geeigneten Basis eine reelle Matrix.
  • Es existiert mindestens eine Spiegelung , welche das Vektorfeld invariant läßt.
  • ist mit der zugehörigen selbstadjungierten Abbildung vertauschbar.
  • Die Schar hermitescher Abbildungen sind die HERMITEschen Wurzeln von .
  • Die konfokalen bizirkularen Quartiken sind Integralkurven des quadratischen Vektorfeldes.

HERMITEsche Abbildungen

Eine reell-lineare Abbildung heißt HERMITEsch, wenn folgende Eigenschaften gelten:
  • für alle
Das Quadrat einer HERMITEschen Abbildung ist eine selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung. Existiert zu einer selbstadjungierten komplex-linearen Abbildung eine HERMITEsche Abbildung mit , so nennen wir eine HERMITEsche Wurzel von .

Lineare Vektorfelder

Ist irgendein Geradenvektor, so wird durch
  • für alle Berührgeradenvektoren
auf der Möbiusquadrik ein lineares Vektorfeld erklärt. Je nach dem Typ von besitzen diese Vektorfelder eine oder zwei Nullstellen. Die Nullstellen sind die Pole der "Infinitesimalen Bewegung" . Gesucht sind die Lösungskurven (Integralkurven) dieser linearen Vektorfelder. Lösungskurven sind die Bahnkurven von W-Bewegungen
  •  mit , erklärt durch , oder
Die Lösungskurven sind Kreise eines Kreisbüschels oder Isogonaltrajektorien dieser Kreise zu fixem Winkel. siehe geogebrabook Möbiusebene/Lineare Vektorfelder

Quadratische Vektorfelder

Ist eine selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung in wie oben, so wird durch
  • für alle Berührgeradenvektoren
ein quadratisches Vektorfeld erklärt. Die Suche nach einer analytischen Lösungsfunktion führt für Berührgeraden auf die elliptische Differentialgleichung
wobei in die Repräsentanten der Nullstellen der qudratischen Form sind.

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