Relazioni e funzioni: caratteristiche di base
RELAZIONI E FUNZIONI
Definiamo una relazione tra due insiemi un qualsiasi legame tra di essi che associa ad un elemento del primo insieme uno o più elementi del secondo. Per dare un nome ad una relazione si utilizza una lettera minuscola. Facciamo un esempio.
Dati l'insieme delle lettere e quello delle parole, la relazione p: "", permette di associare ad una lettera (ad esempio "c") la parola "casa", "cattedra" o altre; alla lettera "s" verranno associate parole come "stella", "studente" e così via. Se chiamiamo l'elemento associato ad , possiamo descrivere la relazione scrivendo p : "".
Si chiama funzione una relazione che ad ogni elemento del primo insieme associa un solo elemento del secondo insieme. L'esempio visto sopra è una relazione ma non è una funzione, perché data una lettera esistono ovviamente più parole che iniziano con quella lettera. Se invece consideriamo la relazione i:"", mostrata qui sotto, abbiamo che ogni lettera ha una sola iniziale. La relazione i quindi è anche una funzione.
Una funzione può anche essere considerata una "relazione univoca", in quanto ad ogni elemento del primo insieme viene assegnato in modo univoco (cioè unico) l'elemento del secondo insieme. Avere una funzione, ovvero definire in maniera univoca il risultato, è particolarmente importante per le relazioni matematiche, dato che in genere è necessario che ogni operazione porti ad un solo risultato univocamente definito, cioè che sia lo stesso per chiunque stia applicando quell'operazione.
LE VARIABILI DI UNA FUNZIONE
La , cioè l'elemento preso nel primo insieme, viene chiamata variabile indipendente, perchè è un elemento che varia (nell'esempio posso considerare varie parole) e può essere scelto liberamente da chi utilizza la funzione; può anche essere considerato l'input che la funzione riceve ed a cui essa associa un output, o risultato, cioè la , il cui nome formale è variabile dipendente perché dipende appunto dalla che abbiamo scelto in partenza: una volta scelta liberamente la , la viene stabilita univocamente dalla funzione, e noi non abbiamo scelta in proposito.
Nell'esempio riportato sopra si può dire che "s" è l'output prodotto dall'input "stella" secondo la funzione i.
La che viene trovata come risultato di una certa secondo una data funzione viene anche chiamata immagine della di partenza, che per contro può essere definita come controimmagine della corrispondente.
Ad esempio "m" è l'immagine di "micio" e di "monte", che sono quindi sue controimmagini; "casa" è la controimmagine dell'output "c".
Le varie notazioni possibili per indicare le variabili di una funzione possono essere riassunte quindi nella seguente tabella:
L'insieme dei valori nell'insieme di partenza per cui la funzione genera un risultato è detto dominio (in Inglese: domain) della funzione. L'insieme dei valori nell'insieme di destinazione che sono un risultato di qualche input (cioè che sono controimmagine di almeno una è detto codominio (in Inglese: range).
Si possono specificare l'insieme da cui la funzione prende i suoi input e quello in cui prende i suoi output con la notazione (ad esempio in questo caso affermiamo che la variabile indipendente (input) e quella dipendente (output) della funzione sono entrambe prese dall'insieme dei numeri reali. Si chiamano funzioni reali di variabile reale.
| x | y |
| variabile indipendente | variabile dipendente |
| input | output |
| controimmagine | immagine |