Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom
GeoGebra

Elliptische Differential-Gleichung

Autor:Walter Füchte

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (Korrigiert 5. Oktober 2019) (erneut korrigiert: 10.10.2019) Kapitel: "Spezielle komplexe Funktionen"

Das Applet oben ist möglicherweise sehr empfindlich und benötigt lange Ladezeiten! Wir wollen Lösungskurven einer elliptischen Differentialgleichung des folgenden Typs näherungsweise darstellen:
Hierbei sind die 4 verschiedenen Brennpunkte f1, f2, f3, f4, und die komplexe Zahl vom Betrage 1, beweglich. Ebenso sind die Anfangspunkte und der Näherungskurven beweglich. Das Vektorfeld läßt sich mit dem Feld-Mittelpunkt g0 verschieben, Abstand der Gitterpunkte ga und ein gemeinsamer Streckfaktor lv der Vektoren sind wählbar. Für , bzw. für werden Näherungskurven konstruiert in der durch die Differentialgleichung gegebenen Richtungen bzw. und in den dazu orthogonalen Richtungen bzw. . Für läßt sich das Vektorfeld geometrisch beschreiben: Die 4 Brennpunkte können auf 3 Arten in 2 Paare von Grundpunkten hyperbolischer Kreisbüschel zerlegt werden: oben sind die Kreisbüschel durch f1, f2 und f3, f4, bzw. durch f1, f3 und f2, f4 als Beispiel angegeben. Durch fast jeden Punkt der Ebene geht je ein Kreis aus den Büscheln eines solchen Kreis-Büschelpaares. Die Lösungskurven sind Winkelhalbierende dieser Kreise! (Diese Aussage wird noch überprüft!) Diese Aussage oben ist falsch - bzw. sie stimmt nur unter einer ganz speziellen Voraussetzung! Die geometrischen Zusammenhänge werden mit den folgenden Punkten erklärt!
  • Für jedes der 3 oben genannten Kreisbüschel-Paare sind die Winkelhalbierenden Lösungskurven der elliptischen Differentialgleichung. Sie gehören im allgemeinen Fall zu 3 verschiedenen Faktoren der Differentialgleichung. Liegen die 4 Brennpunkte auf einem Kreis (konzyklischer Fall!), so fallen die Winkelhalbierenden-Kurven zusammen!
  • Die Lösungskurven schneiden die Winkelhalbierenden-Kurven unter konstantem Winkel: sie sind Isogonal-Trajektorien der Winkelhalbierenden!
  • Liegen 2 Punkte-Paare der Brennpunkte spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen, so muss man für eines der beiden Brennpunkt-Paare das zugehörige hyperbolische Kreisbüschel, für das andere Brennpunkt-Paar das zugehörige elliptische Kreisbüschel wählen. Die Winkelhalbierenden-Kurven dieser beiden Kreisbüschel sind dann Lösungskurven der Differentialgleichung.
  • Ist die absolute Invariante der elliptischen Differentialgleichung reell, so sind die Winkelhalbierenden-Lösungskurven konfokale bizirkulare Quartiken.
    • : zweiteilige bizirkulare Quartiken
    • : harmonische Lage der 4 verschiedenen Brennpunkte: zweiteilige bizirkulare Quartiken und im 45°-Winkel dazu einteilige bizirkulare Quartiken!
    • : einteilige bizirkulare Quartiken. Sonderfall : Tetraederfall! Die Brennpunkte sind möbiusgeometrisch die Ecken eines Tetraeders auf der RIEMANNschen Zahlenkugel. Es gibt 3 Scharen von einteiligen konfokalen bizirkularen Quartiken, welche sich unter Vielfachen von 30° schneiden!
Diese Aufzählung ist die Zusammenfassung des book-Kapitels Quadratische Vektorfelder oder elliptische Funktionen. Die Näherungskurven durch , bzw. durch sind auf verschiedene Weisen konstruiert: Für werden die Richtungsvektoren auf Einheitslänge normiert und anschließend durch einen gemeinsamen Faktor (dglL) verkürzt. Der Vorteil ist, dass in den Bereichen, in welchen das Vorzeichen von hin- und herspringt, der Richtungswechsel durch eine einfache Abfrage ermittelt und korrigiert werden kann!Für als Anfangspunkt wird das gegebenene Richtungsfeld nur durch einen gemeinsamen Faktor korrigiert. Zu erkennen sind die Bereiche, in welchen ständig die Richtung wechselt.Die Näherungskurven approximieren die Integralkurven der Differentialgleichung natürlich für die 2. Näherungsmethode besser, solange sich der Richtungswechsel nicht auswirkt. Die Näherungskurven bestehen aus von Punkt zu Punkt berechneten Streckenstücken. Diese werden iterativ in der Tabelle berechnet. Die Anzahl der Iterationen werden durch den komplexen Rechenaufwand in der Tabelle deutlich begrenzt!!!! Als sehr positiv sei hervorgehoben, dass GeToolbar ImageGebra in der Tabelle das Rechnen mit komplexen Zahlen fast problemlos unterstützt! Ein Hinweis: Die komplexen Lösungsfunktionen der elliptischen Differentialgleichung sind elliptische Funktionen. Diese sind doppelt-periodisch. Je nach Lage der Brennpunkte muss es zwei Richtungen geben, in welchen die Lösungskurven geschlossenen Kurven sind! Auf der nächsten Seite haben wir versucht, das Sprungverhalten der Lösungskurven zu vermeiden - allerdings erkauft mit hohem Rechenaufwand! Auf den nachfolgenden Seiten haben wir die oben genannten Zusammenhänge mit den Winkelhalbierenden versucht zu visualisieren!

komplexe Wurzel-Funktion

Bewege mit den Schiebereglern!

Die komplexe Wurzelfunktion in GeToolbar ImageGeba bildet die komplexen Zahlen für auf die rechte Halbebene ab. Beim Übergang über die linke -Halbgerade springen die Bilder!! Für eine "sprungfreie" Wurzelfunktion müßte man sich die -Ebene einfach überlagert denken: für : .

Neue Materialien

Entdecke Materialien

Entdecke weitere Themen