Principio de Cavalieri para la esfera
EL principio de Cavalieri permite calcular el volumen de un sólido de revolución integrando el área de sus secciones transversales con planos perpendiculares al eje de revolución. Dicho de manera coloquial, calcula el volumen interpretando el sólido de revolución como un conjunto de rodajas que se obtienen al cortar el sólido mediante los planos transversales.
En el caso de una esfera las secciones transversales son círculos. El círculo varía según sea la altura del plano que seccione a la esfera. El área del círculo que se obtiene al seccionar la esfera de radio con un plano de altura , es ya que por el teorema de Pitágoras el radio del círculo sección es . Por tanto el volumen total de la esfera se obtiene al integrar entre la altura más baja, , y la más alta y se tiene:
.
Instrucciones:
En la parte inferior derecha de la aplicación se muestra una esfera, su radio (el segmento de color naranja) y el círculo que resulta de la sección transversal con un plano de altura . A la izquierda se muestra una vista de pájaro del mismo círculo y su radio en color verde, que también se puede ver en color verde en la sección transversal de la esfera. Al mover el deslizador azul se cambia la altura de la sección. y por lo tanto varían los círculos a la izquierda y a la derecha de la parte de abajo de la construcción.
El botón "Vista frontal" permite ver la construcción de frente (el eje apuntando hacia nosotros) de tal manera que de puede apreciar la relación entre , y .
En la parte superior de la construcción se muestra el área del círculo y el volumen total de la esfera obtenido al integrar entre y , donde es el radio de la esfera. El valor de se puede cambiar en la casilla de entrada.