Pyramidenstern
Pyramiden und Würfel
Setzt man auf den Seitenflächen eines Würfels sechs quadratische Pyramiden auf, kann ein sehr hübscher Stern entstehen, wenn die Höhe der Pyramide groß genug wird.
Lässt man den Würfelstern dynamisch vom Würfel aus entstehen indem man die Inkugel langsam wachsen lässt, ist erkennbar, dass der Sternkörper erst ab ein bestimmten Radius r der ehemaligen Inkugel entsteht, also die Summe r + h einen bestimmten Wert übersteigt.
Gemäß den gebräuchlichsten Bezeichnungen des schulrelevanten Mathematikunterrichts, wird die Seitenlänge des Quadrates der Würfelseiten mit a bezeichnet, und k als Kante der aufgesetzten Pyramide.
Vor der erreichten o.g. Grenzsumme trägt dieses Gebilde den kryptischen Namen Tetrakishexaeder.
(Tetrakis bedeutet viermal und hexa bedeutet ja sechs).
Da man eine quadratische Pyramide aufbaut, hat man vier Seitenflächen, die aus gleichschenkligen Dreiecken bestehen und auf die sechs Seitenflächen des Würfels aufgesetzt werden.
Es wird zunächst mit einem statischen Modell gestartet, das die fertige Konstruktion zeigt. Danach folgt eine dynamisches Modell, in dem man die Bedingungen erkennen kann, wann aus einem Würfel überhaupt ein Sternkörper entstehen kann.
Minimal und Maximal
Natürlich ist dies kein Kunstbuch, denn es geht natürlich um Mathematik. Das nachfolgende Applet zeigt zwei Grenzwerte, wann aus einem Würfel ein Sternkörper (Pyramidenstern) entsteht.
Wichtig dabei ist, dass man erkennt, dass die Sternenecken außerhalb des Würfels liegen müssen, woraus sich zunächst nur der Minimalwert erklärt.
Die folgenden Fragen sollen etwas zum experimentieren einladen:
- Was ist ein spezielles Terakishexaeder?
- Was bedeutet 'maximales' Tetrakishexaeder? (Ist das überhaupt noch ein Tetrakishexaeder??)
- Was passiert, wenn man das Maximum übersteigt?