Bizirkulare Quartik als Hüllkurve
Die Konstruktion der bizirkularen Quartiken mit Hilfe der Leitkreise zeigt, dass diese Quartiken auf verschiedene Weisen
als Hüllkurven (Envelope) von Kreis-Scharen entstehen können.
In der Dissertation "Rational families of circles and bicircular quartics" von Thomas Rainer Werner (Erlangen 2011)
stellt Werner eine weitere Darstellung der bizirkularen Quartiken als Envelope von Kreisen vor:
Wir zitieren (mit den im hier vorliegenden geogebra-book verwendeten Bezeichnungen):
Theorem 8.14 (Envelope of a rational family of circles) (Seite 91 ff)
| | The familiy of circles
has the bicircular quartic with the equation
as envelope. |
Werner nennt diese Darstellung von bizirkularen Quartiken "Three circles form". Jede bizirkulare Quartik läßt sich auf
diese Weise darstellen und wird wie angegeben als Envelope von Kreisen erzeugt.
Im Applet oben verwenden wir dies konkret für bizirkulare Quartiken in Normalform.
Alle möglichen Typen bis auf die Möbiustransformierten von Parabeln werden mit einheitlichen Gleichungen erfasst.
Eine wesentliche Rolle spielen dabei die Lage der Brennpunkte und die möglichen Symmetrien.
In der Dissertation von Werner werden Brennpunkte nur an einer Stelle bei der Aufzählung der klassischen Beispiele
von bizirkularen Quartiken erwähnt. CASSINI-Kurven werden mittels 2 ihrer 4 Brennpunkte definiert:
als Ort aller Punkte , welche von 2 Brennpunkten das konstante Abstandsprodukt
besitzen (Diss. Seite 123).
Die Gleichungen:
Wir verwenden die reellwertige Funktion mit .
In Normalform lauten damit die Gleichungen der bizirkularen Quartiken:
Vorgegeben sind: Ein Brennpunkt und ein Scheitel auf der -Achse.
Die bizirkulare Quartik ist dann
- 2-teilig: mit den Brennpunkten und den Scheiteln auf der -Achse.
- 1-teilig: mit den Brennpunkten , 2 der Scheitel: liegen auf der -Achse.
- ein Möbiustransformierter Mittelpunktskegelschnitt mit den Brennpunkten und als
doppelt-zählendem Brennpunkt. Gespiegelt zB. am Einheitskreis ergibt sich eine Ellipse oder eine Hyperbel.
Für jeden dieser 3 Fälle ist die Konstruktion mittels eines Leitkreises angezeigt. Die doppelt-berührenden Kreise
sind -Achsen-symmetrisch. Diese Kreise hüllen die Quartik ein. Zur 3-Kreise Form und den einhüllenden Kreisen nach Werner:
Wir definieren , und , sowie die Schar der einhüllenden
Kreise .
Für stimmt die bizirkulare Quartik mit der oben angegebenen Quartik bizQuAB überein.
Um die einhüllenden Kreise angezeigt zu bekommen, verändere man und/oder .
bzw. liefert die Scheitelkreise , . Für ist nicht reell, für liegt der Punktkreis in vor.
Für variables ergeben sich bizirkulare Quartiken mit und als Scheitel:
: bzw. : mit .
Die Gleichung für die einhüllenden Kreise ist oben angegeben.
Die zugehörigen Brennpunkte wurden berechnet mit :
Der "Trick" veranlaßt geogebra, die Brennpunkte komplex zu berechnen: sie werden damit auch auf der -Achse
bzw. auf dem Einheitskreis angezeigt, sofern sie dort liegen.
Oben werden sämtliche bizirkularen Quartiken in Normalform erfasst, ausgenommen die Möbiustransformierten
von Parabeln (ein dreifacher Brennpunkt!), und die Produkte aus 2 Kreisen.
Nachbemerkung: die 3-Kreise-Form eine bizirkularen Quartik und die dazugehörige Schar von einhüllenden Kreisen
läßt sich auch für andere Scheitelkreise und Symmetrie-Kreise aufstellen, sofern sie existieren:
beispielsweise wähle man für 2-teilige Quartiken den Einheitskreis als und die zum Einheitskreis symmetrischen
Scheitelkreise als . 