2.2. Математичні відкриття за допомогою динамічної геометрії GeoGebra
Фрагмент навчального посібника Інноваційні інформаційно-комунікаційні технології навчання математики : навч. посіб. / Т. Г. Крамаренко, В. В. Корольський, С. О. Семеріков, С. В. Шокалюк ; наук. ред. М. І. Жалдак. – Вид. 2, перероб. і доп. – Кривий Ріг : Криворізький держ. пед. ун‑т, 2019. – 444 с. – Режим доступу: http://elibrary.kdpu.edu.ua/xmlui/handle/123456789/3315. ______________________________________________________________ У навчанні геометрії з використанням системи динамічної математики доцільно використовувати дослідницький метод навчання, який за словами С.А. Ракова, є «живою душею математики» і на практиці найчастіше використовується через розглядання «відкритих» задач («відкритих» проблем). Тобто, задач з неповними даними, з невизначеними елементами умови, з відкритістю твердження [47, 58]. Розв’язування завдання зазначеного типу розпочинається з «довизначення», яке можна здійснити різними способами залежно від наявного досвіду чи особистісних уподобань учасників навчального процесу (учнів та вчителя). Розглядання саме таких задач у навчанні математики наближає навчальний процес до творчого математичного процесу.
Дослідження властивостей перетворення подібності
Розглядаючи перетворення подібності, доцільно запропонувати учням випереджаюче домашнє завдання – самостійно здійснити дослідження властивостей перетворення, використовуючи розроблені динамічні креслення, і скласти звіт. Наприклад, нами розроблено такі наочності для дослідження властивостей перетворення «Подібність» (режим доступу http://www.geogebratube.org/material/show/id/42625 з можливістю завантаження файлу для класичної версії GeoGebra або ж https://www.geogebra.org/m/KkjMTpPn для використання також на мобільних телефонах). Варто стимулювати учасників висловлювати гіпотези щодо властивостей перетворення "Подібність". Далі доцільно продемонструвати побудову подібних фігур як результат комбінації гомотетії та повороту. Проведення дослідження і узагальнення його результатів сприятиме формуванню в тих, хто навчається, дослідницької математичної компетентності.
Учитель повинен володіти навичками складання орієнтовних планів дослідження (завдання для учня). 1. Знайдіть відношення довжин відповідних сторін і порівняйте його із записаним значенням коефіцієнта подібності. Запишіть гіпотезу. 2. Виміряйте відповідні кути у подібних фігур. Запишіть гіпотезу. 3. Проведіть дослідження, змінюючи значення коефіцієнта подібності; змінюючи форму однієї з представлених фігур. 4. Знайдіть відношення площ подібних фігур, порівняйте знайдене число з коефіцієнтом подібності. Запишіть гіпотезу про зв'язок. 5. Дізнайтеся, як можна отримати подібні фігури. Проведіть дослідження для різних кутів і розташування центрів гомотетії чи повороту. 6. Самостійно дайте відповіді на питання: а) які фігури будуть подібними; б) що виражає коефіцієнт подібності; в) про які властивості подібних фігур дізналися; г) в результаті яких перетворень і як можна отримати подібні фігури? 7. Дізнайтеся більше про перетворення "Подібність" у науково-популярній та у навчальній літературі."Відкрийте" властивості хорд, січних, січної та дотичної.
Розглянемо детальніше динамічне креслення для «відкриття» теореми про хорди. Створимо точки А, В; коло з центром А і радіусом АВ. На колі виберемо точки С, D, Е, F (послуга Створення \ Точка прикріплена до кола), проведемо прямі ЕС та DF (послуга Створення \ Пряма), знайдемо точку їх перетину G (Створення \ Точка перетину) та створимо динамічні вирази для обчислення сум та добутків відрізків хорд: CG*GE, FG*GD. Для подання динамічного напису засобами GeoGebra потрібно вписати до тексту позначення використовуваних об’єктів. Рухаючи вздовж кола одну з точок С, D, Е, F, змінюючи радіус кола, учасники зможуть відстежити зміни динамічних виразів, проаналізують отримані дані. Оскільки добутки залишаються рівними, то дослідники можуть висловити гіпотезу, що добуток відрізків однієї хорди буде сталим і залежатиме від положення точки перетину хорд. Стимулюємо подальші пошуки питанням: які результати отримаємо, якщо перетинатимуться не хорди, а їх продовження. Учасники мають встановити, що в цьому разі мова йтиме про січні, проведені до кола з однієї точки. Оскільки вони з’ясують, що виписані добутки при цьому залишилися сталими, то зможуть сформулювати твердження стосовно сталості добутку січної на її зовнішню частину. В подальшому пропонуємо відслідковувати, які значення отримаємо для граничних положень січної, тобто для дотичної до кола. Треба зафіксувати, що добуток залишається сталим. Тому можна сформулювати третє твердження – квадрат дотичної рівний добутку січної на її зовнішню частину. Наступний етап в ході дослідження дуже важливий, тому що учасники повинні виокремити спільне в цих трьох формулюваннях, зробити узагальнення. Привертаємо увагу дослідників до того, як здійснюється порядок вибору точок. Спочатку беремо точку на колі, потім точку перетину, останньою – іншу точку тієї ж січної (хорди) на колі. Точку дотику при цьому розглядаємо як подвійну. Отже, використовуючи поняття напрямлених відрізків, зводимо три формулювання в одне. Обговорення з учасниками результатів дослідження сприятиме розвитку у них пізнавальних якостей узагальнення та систематизації. Варто зауважити, що для проведення описаних досліджень важливим був той факт, що точку G отримали як перетин прямих, а не відрізків. Не змогли б на динамічному кресленні продемонструвати зв’язок між трьома згаданими вище теоремами та здійснити узагальнення і в тому разі, якби почали будувати січні, використовуючи послугу Промінь чи послугу Дотична. Наведені приклади яскраво свідчать про важливість у ході створення креслення добору об’єктів та порядку їх створення. Тому краще пропонувати учасникам не готові моделі для відкриття, а разом з ними обговорювати, яку із запропонованих краще використати. Формуючи вміння створювати, добирати «гнучкі» моделі, розвиватимемо в особистості таку творчу компоненту як гнучкість мислення.