Lösung der Differentialgleichung
VII. Warum Cosinus hyperbolicus?
Lösung der Differentialgleichung
Die Kettenlinie soll mit einer Funktion beschrieben werden.
Für die Ableitung dieser Funktion wurde auf der vorigen Seite eine Differentialgleichung (DGL) hergeleitet:
Aus Gleichung VIII folgt
Wir integrieren auf beiden Seiten:
oder anders geschrieben:
1. Rechte Seite von Gleichung IX
,
denn eine Stammfunktion zu ist oder .
2. Linke Seite von Gleichung IX
Für die linke Seite betrachten wir zunächst das etwas einfachere Integral
Hier können wir die Substitutionsregel anwenden:
In unserem Fall ist .
Es wird substituiert: .
Dann ist und .
[Zu ist die Umkehrfunktion. Sie wird auch als area sinus hyperbolicus bezeichnet.]
Anwenden der Substitutionsregel ergibt
, also
Im nächsten Schritt interpretieren wir die Substitutionsregel andersherum und schreiben
.
Mit und wird daraus
.
Wenn nun für die Ableitung der Kettenlinienfunktion, also für steht, gilt demzufolge
und somit
.
3. Lösen der Differentialgleichung
In Gleichung IX werden linke und rechte Seite durch die Terme aus (2.) und (1.) ersetzt:
Die Funktionsgleichung X ist die allgemeine Lösung für die Funktion . Um daraus die allgemeine Funktion für die Kettenlinie zur erhalten müssen beide Seiten noch einmal integriert werden. Das ergibt
Schreibt man b für die Integrationskonstante C3, so erhält man die endgültige Lösung für die Kettenlinienfunktion
Der Parameter a in dieser Funktionsgleichung bestimmt die Streckung in x- und in y-Richtung und damit die Form des Funktionsgraphen.
Der Parameter b bestimmt mit seinem Wert die vertikale Position des Graphen.
Der Parameter c ist der Wert, um den der Graph parallel zur x-Achse verschoben ist.
Anmerkung
Die Gleichung XI zeigt, dass der Faktor a vor der gleiche sein muss wie im Nenner vom Argument der Funktion.
Gelegentlich findet man im Internet Aufgaben zur Kettenlinie, bei denen der Faktor vor der -Funktion (für die Streckung in y-Richtung) ein anderer ist als der im Nenner des Arguments (für die Streckung in x-Richtung).
Wird die Funktion jedoch in x-Richtung mit einem anderen Faktor gestreckt als in y-Richtung, handelt es sich zwar noch um eine -Funktion, aber nicht mehr um eine Kettenlinie, wie diese Herleitung zeigt.