Dokumentation: Funktionen allgemein & Lineare Funktionen
Egal, ob der Füllstand des Wassers in der Badewanne, die Kosten des Eises beim Eismann unseres Vertrauens oder die Entwicklung der Aktien an der Börse: Was all diese Situationen der realen Welt gemein haben, ist, dass wir sie alle annährend durch Funktionen beschreiben und modellieren können. Aufgrund dieses großen Alltags- und Realitätsbezugs wird Funktionen ein recht hoher Stellenwert in der schulischen Mathematik zugesprochen, was sich auch durch die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang" zeigt.
Im Bildungsplan werden Funktionen konkret in der siebten Klasse eingeführt, jedoch werden bereits in der Grundschule die Grundsteine für das funktionale Denken gelegt.
Eine Funktion beschreibt hierbei eine rechtseindeutige und linksvollständige Zuordnung zwischen den Elementen einer Definitions- und einer Wertemenge, das bedeutet, dass jedem Element aus der Definitionsmenge genau ein Element aus der Wertmenge zugeordnet wird. Dementsprechend wichtig ist es bei der Angabe einer Funktion neben dem Funktionsterm auch eine Definitions- und eine Wertemenge anzugeben.
Neben diesem hier stark anklingenden Zuordnungsaspekt von Funktionen gibt es auch noch den Paarmengenaspekt von Funktionen, der in der schulischen Mathematik jedoch etwas in den Hintergrund gerät. Nach ihm betrachtet man die Funktion als Teilmenge des kartesischen Produkts aus der Definitions- und der Wertemenge, die sämtliche Punkte enthält, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
Während Aspekte den fachlichen Kern zur Charakterisierung eines mathematischen Objekts liefern, bemühen sich Grundvorstellungen darum, diesen Objekten einen konkreten Sinn zu geben, weshalb es ein essentielles Ziel des mathematischen Schulunterrichts ist, solche tragfähigen Grundvorstellungen zu etablieren, was jedoch einiges an Zeit in Anspruch nimmt.
Ähnlich zum Zuordnungsaspekt der Funktionen verhält sich die Zuordnungsvorstellung von Funktionen, bei der explizit einzelne Wertepaare in den Blick gefasst werden. Bei der Kovariationsvorstellung hingegen wird untersucht, wie sich die Funktionswerte beim Durchlaufen der Argumente ändern, es wird also das Verhältnis mehrerer Wertepaare zueinander in den Blick genommen. Die Objektvorstellung hingegegen nimmt nicht Wertepaare in den Fokus, sondern betrachtet die Funktion als Ganzes, zu Beispiel wenn man ihr Monotonieverhalten untersuchen möchte.
Je nach Art der Aufgabenstellung kann nun eine andere Grundvorstellung in den Vordergrund treten und auf diese Art gelehrt, gelernt, geübt und gefestigt werden.
Ebenso können diese unterschiedlichen Grundvorstellungen je nach Darstellung der Funktion in unterschiedlichem Maße in der Vordergrund rücken. Hierbei unterscheidet man klassisch vier Darstellungsformen:
- Formal-symbolische: exakte Angabe des Objektes durch einen Term
- Graphisch-visuell: Verbildlichung in Form eines Graphen im Koordinatensystem oder eines Diagramms
- Numerisch-tabellarisch: Punktuelle Zuordnung mehrerer Wertepaare in Form einer Tabelle
- Situativ-sprachlich: Verbale Beschreibung einer Geschichte, die das Objekt beschreibt.
![[i][size=85][size=50]Wittmann. Elementare Funktionen und ihre Anwendungen. Springer. S.14[/size][/size][/i]](https://www.geogebra.org/resource/jbzkdvd9/pk5ibKZk4SW0qkSi/material-jbzkdvd9.png)
Beim Lehren und Lernen dieser Darstellungswechsel können digitale Werkzeuge unterstützend eingesetzt werden. Das liegt daran, dass es einige digitale Werkzeuge gibt, die sogenannte Multirepräsentationswerkezuge sind, das heißt sie sind in der Lage, uns mehrere verschiedenen Darstellungsformen nebeneinander anzeigen zu lassen und eine Änderung in einer der Darstellungsformen kann umgehend auch in den anderen Darstellungsformen beobachtet werden, wodurch wir den zeitlichen Aufwand, einen neuen Graphen zu zeichnen, ein neue Wertetabelle zu bestimmen oder eine neue Funktionsgleichung aufzustellen reduzieren können und die daraus gewonnene Zeit nutzen können, um die Lernenden selbstständig und experimentell arbeiten zu lassen und vermehrt Darstellungswechsel zu üben.
Hierzu hatte ich auch eine Aufgabe in meinem GeoGebra-Praktikum erstellt:
Zunächst wollen wir uns mit den grundlegenden Eigenschaften von Funktionen beschäftigen.
- Zeichne die beiden Punkte A=(2,2) und B=(4,5) in das Koordinatensystem.
- Nutze nun diese beiden Punkte und erstelle aus ihnen eine Gerade mit dem Befehl Gerade(,). Lass dir den Funktionsterm im Diagramm anzeigen.
- Lass dir nun die speziellen Punkte dieser Geraden (Nullstelle und y-Achsenabschnitt) ausgeben. Öffne hierzu das Baubles-Menü (drei Punkte) hinter deiner Funktionsgleichung in der Algebra-Ansicht und klicke auf "Spezielle Punkte". Nenne die Nullstelle N und den y-Achsenabschnitt S.
- Lass dir nun die Steigung dieser Geraden mithilfe des Befehls Steigung() anzeigen. Nun sollte dir eine Gerade angezeigt werden, auf der 4 Punkte markiert sind und deren Steigung durch ein Steigungsdreieck dargestellt wird. Verallgemeinern wir dies.
- Erstelle eine Funktion mittels der folgenden allgemeinen Gleichung: f(x) = mx+b. GeoGebra sollte nun automatisch je einen Schieberegler für m und b erstellen. Sollte dies nicht der Fall sein, so erstelle zunächst die beiden Schieberegler und gib dann die Funktionsgleichung ein.
- Lass dir nun wieder die speziellen Punkte dieser Geraden anzeigen. Bewege anschließend die beiden Schieberegler und sieh, wie sich die beiden Punkte verändern.
- Konstruiere nun wieder das Steigungsdreieck mit Hilfe des oben genannten Befehls oder dem Werkzeug
. Variieren nun wieder die Schieberegler und beobachte, wie sich das Steigungsdreieck verändert. - Öffne nun wieder das Baubels-Menü (drei Punkte) deiner Funktionsgleichung und wähle nun "Wertetabelle" aus. Nun sollte dir GeoGebra eine Wertetabelle passend zu deiner Funktionsgleichung erstellen.
- Lass dir nun deine Schieberegler und deinen Funktionsterm in der Grafik anzeigen. Wechsel dann wieder auf die Tabellenansicht. Spielst du jetzt ein wenig mit deinen Schiebereglern kannst du beobachten, wie sich zeitgleich der Funktionsterm, der Funktionsgraph und die Wertetabelle ändern. So kann man den Darstellungswechsel für Lernende übersichtlich gestalten.
