Esfera y cilindro
Vamos a parametrizar el resultado de hacer un agujero en una esfera, utilizando un cilindro.
Para simplificar los cálculos, tomaremos el centro de la esfera en el plano XY y el centro del cilindro en la parte positiva del eje X.
(*) Podemos obtener el dibujo de esta superficie de manera más rápida, mediante una superficie esférica en la que
- impongamos la condición de dibujar los puntos solo si la distancia al eje del cilindro es mayor que el radio.
- Recordando la fórmula para la distancia de un punto a una recta, podemos usar el módulo del producto vectorial de un vector unitario, u, en la dirección del eje y el vector que une un punto de la esfera con un punto P cualquiera del eje, pues en ese caso, es la distancia del punto al eje.
- Podemos ver una implementación en este applet de Juan Vicente Sánchez.
- El comando para dibujarlo sería
Superficie(Si(|((R;a;b)-P)⊗u|≥r,(R;a;b)),a,0,2π,b,-π/2,π/2).
¿Cómo parametrizar esta superficie?
Una posibilidad es parametrizar primero el disco correspondiente en el plano XY, en el que se ha eliminado el círculo del cilindro, y luego utilizar la ecuación de la esfera para calcular la componente z. En este caso, necesitaremos dos superficies: una para la mitad superior, y otra para la inferior.
- Para parametrizar ese disco, es útil hacerlo en coordenadas esféricas/polares con centro el centro del cilindro.
- Además, por comodidad, calcularemos el correspondiente radio máximo, con esta función, que se basa en el teorema de los senos y la resolución de triángulos.
- Expresado en función del radio polar a: R= radio de la esfera, r=radio del cilindro A=Distancia entre los centros