Matemáticas en el caparazón de una tortuga
Polígonos y homotecias
Nuestro turno
Como ayuda para centrarnos en el modelizado, vamos a responder razonadamente las siguientes cuestiones:
Imagen utilizada
La naturaleza puede enseñarnos muchas matemáticas, si la miramos con detenimiento. En este caso, vamos a centrarnos en el caparazón de una tortuga europea.
Nos llama especialmente la atención la división que trae en polígonos.
Una forma de modelizarlos es mediante los conocidos como Diagramas de Voronoi, que podemos pensar como una generalización del concepto de Mediatriz de dos puntos (recta que divide el plano en dos: los puntos que están más cerca de uno u otro de esos dos puntos).
En el diagrama de Voronoi, la construcción se amplía al uso de más puntos. Ahora se trata de fragmentar un terreno o una superficie en las zonas que están más cerca de ciertos "centros". Puede hacerse a través de las mediatrices de puntos dos a dos; los que están más cerca unos de otros.
En el applet, podemos comprobarlo marcando la casilla "Mediatriz" y moviendo los puntos naranja. Cada segmento del diagrama pertenece a alguna mediatriz.
En el applet, podemos mover los puntos que se han utilizado para aproximar la distribución de la tortuga mediante un diagrama de Voronoi, para probar qué ocurre con diferentes configuraciones.
Ten en cuenta que parte de la simetría se pierde debido a que la fotografía no es completamente cenital.
Si unimos mediante segmentos los puntos de regiones colindantes, obtenemos la triangulación de Delaunay.
Por otra parte, si nos fijamos en estos polígonos, vemos que nos revelan parte de la historia de la tortuga, de forma similar a los anillos de los árboles, que nos revelan su edad.
Al crecer la tortuga, se han ido añadiendo capas a los polígonos. Estas capas se muestran claramente en la foto, en forma de líneas que conforman polígonos iguales, solo que más pequeños. Es lo que en matemáticas se denomina "semejantes".
Podríamos preguntarnos si estos polígonos siguen encajando tan perfectamente como parece que lo hacen ahora, y si es verdad que cuando la tortuga era menor, también encajaban así de bien.
Para ello, podemos recurrir a modelizar esta situación: