Quadratische Gleichungen lösen
Einführung
Auf diesem Arbeitsblatt soll es um das Lösen von quadratischen Gleichungen gehen. Eine quadratische Gleichung ist dabei eine Gleichung, in der "irgendwo ein x²" auftaucht. Verboten sind höhere Potenzen wie zum Beispiel x³. Ein Beispiel wäre
Manchmal taucht x² auch auf beiden Seiten der Gleichung auf:
Quadratische Gleichungen erkennen
Bei welchen der folgenden Gleichungen handelt es sich um quadratische Gleichungen?
Typen von quadratischen Gleichungen
Im folgenden soll es nun darum gehen, wie man diese quadratischen Gleichungen löst:
Man sucht also nun mit systematischem Umformen die x-Werte heraus, so dass auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung das gleiche Ergebnis herauskommt.
Hier gibt es im Wesentlichen drei verschiedene Lösungsverfahren. Welche man davon anwendet, hängt davon ab, von welchem Typ die quadratische Gleichung ist. Es gibt nämlich auch drei verschiedene Typen, ein Typ je Lösungsverfahren.
Die Zuordnung zum jeweiligen Typ kann am einfachsten erfolgen, wenn man die vorliegende quadratische Gleichung in eine "normalisierte" Form bringt. Diese Form hat eine "1 vor dem x²" und auf der anderen Seite der Gleichung eine Null. Mathematisch sieht sie also folgendermaßen aus:
oder einfacher mit zwei beliebigen Zahlen p und q
Umformung in "normalisierte" Form
Wir wollen in diesem Abschnitt drei quadratische Gleichungen in ihre jeweilige "normalisierte" Form umformen. Sind wir damit fertig, werden wir untersuchen, worin sich die entstehenden Gleichungen unterscheiden und wie wir sie in die drei Typen aufteilen können.
Die Umformungsschritte findet man im folgenden pdf-Dokument.
Die drei Typen
Oben im pdf-Dokument hatten wir die drei Ergebnisgleichungen:
| | Typ 1, weil kein "mittlerer x-Term" enthalten ist, also |
| | Typ 2, weil "nur ein mittlerer x-Term" enthalten ist, also |
| | Typ 3, weil "x-Term und Zahl" enthalten sind |
Von welchem Typ ist diese Gleichung?
a)
b)
c)
d)
e)
