GM-1 PEI-1 2020
Enunciado:
Determinar la circunferencia cs que corte a las rectas a y b con el mismo ángulo, pase por el punto P
y sea tangente a la circunferencia c1. (5 puntos)
Explicación geométrica razonada (5 puntos)
Resolución.
1- La circunferencia buscada ha de tener el mismo ángulo con respecto a las rectas a y b, lo que quiere decir que ha de tener su centro en la bisectriza-b de ambas rectas. Existirían soluciones en la otra bisectriz, pero por la posición de los datos en el enunciado no pueden ser la pedida, al quedar la solución fuera de la hoja.
2- Dada la simetría del problema la circunferencia buscada ha de pasar también por el punto P', el simétrico del punto P con respecto a la bisectriza-b.
3- La solución ha de pertenecer a un haz elíptico, por lo tanto, cuyos puntos fundamentales son P y P'. Eso nos define la bisectriza-b como rectabase del haz solución, así como el ejeradical del haz solución.
4- El resultante Problema Fundamental de Tangencias (circunferencias por P y P' tangentes a c1) se puede resolver de diversas maneras. Por ejemplo haciendo uso de una circunferencia cualquiera del haz solución, caux, que se corte con c1 (se puede modificar caux moviendo el punto Q).
5- El eje radical de c1 y caux determina
6- El Centroradical, punto que tiene la misma potencia con respecto a c1 y con respecto a todo el haz solución.
7- Determinando dicha potencia, mediante el arco capaz ac90º, se puede determinar el punto de tangencia T. El otro punto de tangencia resulta en una circunferencia que pertenece al haz solución y es tangente a c1, pero no corta a las rectas a y b, y por lo tanto no es una solución válida.
8- El diámetro de c1 por T es un lugar geométrico del centro de la solución (LGCS).
9- Donde se corta con la rectabase se determina el centro de la solución Os, y con ello la circunferencia pedida, cs.