quadratische Funktion (Parabel)
Es gibt folgende quadratische Funktionen:
- Normalparabel
- Verschobene Normalparabeln
- Schmale und breite Parabeln
Normalparabel
Die Normalparabel ist die Ausgangsparabel aller anderen. Von ihr aus betrachtet man sämtliche anderen Parabeln. Ihre Formel ist daher auch diejenige, die am einfachsten aller Parabeln ist:
Funktionsgleichung:
Der Scheitelpunkt einer Normalparabel liegt immer im Punkt:
Scheitelpunkt: bezeichnet den Punkt, an dem die Steigung wechselt (von negativ auf positiv bzw. anders herum)
![[size=85]Mit den Reglern kannst du verschiedene Werte für die Steigung, den y-Achsenabschnitt sowie die x-Achsenverschiebung einstellen. Beobachte in der Scheitelform, was mit den Werten passiert.[/size]](https://www.geogebra.org/resource/rrdnneh4/s6w3aMjeNMJNjlxY/material-rrdnneh4.png)
Verschobene Normalparabeln
Verschobene Normalparabeln unterscheiden sich in der von der bekannten Formel der Normalparabel.
Verschobene Normalparabeln können zwei, eine oder auch keine Nullstellen haben (Schnittpunkte mit der x-Achse)
Es gibt zwei Funktionsgleichungen, die beide in speziellen Fällen Vorteile mit sich bringen:
1. Normalform (diese Form zeigt sofort die Gerade an, an der die Parabel verschoben wurde)
2. Scheitelform (mit dieser Form kann man direkt den Scheitelpunkt der Parabel bestimmen)
Die Normalform lautet:
b gibt hierbei die Steigung der Geraden an, c ist der y-Achsenabschnitt
Aus der Normalform lässt sich mit Hilfe der Gleichungsumstellung )
der Scheitelpunkt bestimmen:
Die Scheitelform lautet:
Der Scheitelpunkt lautet:
![[size=85]Mit den Reglern kannst du verschiedene Werte für die Steigung, den y-Achsenabschnitt sowie die x-Achsenverschiebung einstellen. Beobachte in der Scheitelform, was mit den Werten passiert.[/size]](https://www.geogebra.org/resource/fmxkabta/new3F1jJw4gH59oS/material-fmxkabta.png)
Schmale und breite Parabeln
Schmale und breite Parabeln entstehen, wenn die Steigung a einen Wert ungleich 1 (oder -1) besitzt.
Die Funktionsgleichung lautet daher:
Der Scheitelpunkt ist bei dieser Gleichung auch immer , da wir uns in diesem Abschnitt nur auf die unterschiedlichen Steigungen konzentrieren.
Die Steigung a bestimmt die Öffnung der Parabel. Es gilt folgendes:
: nach oben offen
: nach unten offen
a > 1 und a < -1: schmaler als die Normalparabel (sie steigt/ fällt stärker!)
0 < a < 1 und -1 < a < 0: breiter als die Normalparabel (sie steigt/ fällt schwächer)