El Rombododecaedro y las abejas
PREGUNTA 1
Para una cierta altura se forma un poliedro cuyas caras son rombos. Este poliedro se llama ROMBODODECAEDRO o DODECAEDRO RÓMBICO. Observa el valor de la altura para varias medidas de la arista del cubo inicial. ¿Qué relación hay entre la medida de esta altura y la medida de la arista del cubo?
PREGUNTA 2
Observa cómo se forman pirámides hacia el interior del cubo (cuyo volumen es ). ¿Cuál es el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado a y altura la mitad de a? Puede ayudarte el siguiente applet
PREGUNTA 3
¿Cuál es el volumen del ROMBODODECAEDRO en función de la arista del cubo con el que se forma?
PREGUNTA 4
Fíjate bien en el ROMBODODECAEDRO ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
CARAS + VÉRTICES =ARISTAS + 2
Comprueba que se verifica con los resultados que hayas obtenido. Además, también debe cumplirse que(nº caras del polígono) . Caras = 2. Aristas
CompruébaloPREGUNTA 5
Si te fijas en las aristas del ROMBODODECAEDRO, no todos los vértices son iguales. Hay dos tipos de vértices. ¿Qué dos tipos de vértices hay? ¿Cuántos de cada tipo?
PREGUNTA 6
A partir de un cubo de arista 2, calcula la diagonal menor, la diagonal mayor y el lado de los rombos que forman el ROMBODODECAEDRO. Para ello relaciónalo con elementos del cubo. ¿Cuál es el área total del ROMBODODECAEDRO?
PRGUNTA 7
Teselar el espacio es lo análogo, en dimensión tres, de lo que llamamos mosaicos en el plano. La palabra tesela se refiere a cada una de las piezas de un mosaico. El ejemplo más sencillo de mosaico plano es el formado por cuadrados.
Teselar el espacio con un poliedro quiere decir que con copias de ese poliedro podemos rellenar el espacio sin dejar huecos. El cubo (y todos los poliedros que llamamos ortoedros y también los paralelepípedos) tienen esta propiedad que nos resulta muy familiar. Basta pensar en los almacenes llenos de cajas apiladas, los ladrillos,...
El ROMBODODECAEDRO tesela el espacio, puedes ver en el siguiente applet como a partir de uno de ellos se puede rellenar todo el espacio. Con tres grupos de cuatro rombododecaedros se envuelve el rombododecaedro inicial.
Al girar todo y cambiar el punto de vista podrás ver curiosas imágenes, por ejemplo que parezcan cubos. Busca otras imágenes interesantes.
En una de las imágenes sólo se ven cuadrados. ¿Cuántos cuadrados se ven?
Seguro que ya sabes que los panales de las abejas están formados por hexágonos (que teselan el plano). El matemático griego Pappus de Alejandría (en 311 d.C.) ya había escrito sobre ese plan hexagonal de los panales planteando la posibilidad de que las abejas tuvieran "cierta previsión geométrica". Escribió: "Habiendo, pues, tres figuras que por sí mismas pueden llenar el espacio alrededor de un punto, verbigracia, el triángulo, el cuadrado y el hexágono, las abejas han seleccionado sabiamente la estructura que contenía más ángulos, sospechando que en realidad podrían contener más miel que cualquiera de las otras dos". Las celdillas tienen forma de prisma hexagonal y construyen dos capas, cada una mirando hacia un lado y unidas por las bases.
Fue el importante matemático alemán Kepler (en 1600 d.C.) el primero en fijarse cómo cerraban las abejas las celdillas. Fíjate en la fotografía del panal para ver cómo es el fondo de las celdillas, no son planas. ¿Por qué será?
PREGUNTA 8
¿Cómo es el fondo de una celdilla?
En el siguiente applet de GeoGebra puedes ver una forma de construir el fondo de una celdilla. Una celdilla de un panal tiene forma de prisma hexagonal regular, pero cuyo fondo remata en tres rombos. Puede obtenerse a partir del prisma, cortando tres tetraedros por los lados de un triángulo equilátero inscrito en la base y pegándolos a ese triángulo. Para cada inclinación del corte, salen unos rombos diferentes. Practica modificando el ángulo de corte y con el deslizador Prisma-Celdilla ver la construcción. (También puedes elegir la altura del prisma y el lado)
PREGUNTA 9
Al dejar fijadas la altura del prisma y el lado del hexágono, y al variar el ángulo de corte, ¿ qué ocurre con el volumen de la celdilla ? ¿ por qué ?
PREGUNTA 10
Al dejar fijadas la altura del prisma y el lado del hexágono, y al variar el ángulo de corte, ¿ qué ocurre con el área de la celdilla ?
PREGUNTA 11
Las abejas eligen un ángulo algo mayor de 54.7º para hacer tres rombos de un rombododecaedro. ¿ Por qué lo construyen con ese ángulo?
