外心と垂心は等角共役の意味
OとＨが作る相似三角形はＮ（九点円の中心）で対称となっている。各辺の垂直二等分線に対して垂心Ｈの鏡像をとって三角形を作図するとどうなるか。同様に頂点からの垂線に対して外心Ｏの鏡像をとって三角形を作るとどうなるか。なお縦に重なっている相似三角形は中（なか）三角形。
外心と垂心の対称性
①外心Oの各辺への対称点の作る三角形は、元の三角形と合同である。
この三角形の外心は元の三角形の垂心Hとなっている。
②垂心Hの垂直二等分線への対称点の作る三角形は、元の三角形と相似である。
この三角形の外心は元の三角形の外心と一致する。
③外心Oの頂点からの垂線への対称点の作る三角形は、②の三角形と九点円の中心Nで点対称になっている。
④垂直二等分線と頂点からの垂線の交点の作る三角形は二つあって、Nを中心にして点対称であり、元の三角形と相似である。（中の定理）
⑤ここに描かれている三角形は全て相似である。