A gömbre vonatkozó polaritás és alkalmazása
A GeoGebra alap eszköztárában van két olyan ikon, amely nem szerepel a középiskolai tananyagban, bár szerepelhetne. Egyik az inverzió: 
(körre vonatkozó tükrözés), amelyet itt mutattunk be, másik a poláris képzés 
amelyhez a Poláris(<pont>,<kúpszelet>,) parancs tartozik.
Mi most ez utóbbi (gömbre leszűkített) térbeli megfelelőjével, és ennek egy fontos alkalmazásával ismerkedünk meg.
(körre vonatkozó tükrözés), amelyet itt mutattunk be, másik a poláris képzés amelyhez a Poláris(<pont>,<kúpszelet>,) parancs tartozik.
Mi most ez utóbbi (gömbre leszűkített) térbeli megfelelőjével, és ennek egy fontos alkalmazásával ismerkedünk meg.A gömbre vonatkozó polaritás
Legyen adott egy O=(0,0,0) középpontú r sugarú G gömb, valamint a tér egy A=(ax,ay,az) pontja!
A körre vonatkozó inverzió - mint geometriai transzformáció - kiterjeszthető gömbre is, de erre nincs megfelelő GeoGebra parancs. Így az A (≠O) pontnak a G gömbre vonatkozó inverzét az A'= Nyújtás(A, r²/Távolság(O,A)²) paranccsal állíthatjuk elő. Könnyen ellenőrizhető, hogy teljesül az OA·OA'=r2 összefüggés, tehát A' valóban az A -nak G-re vonatkozó inverze. Legyen SA az A' pontra illeszkedő OA egyenesre merőleges sík, amely a GeoGebra eszközeivel könnyen megszerkeszthető. Ezt a síkot nevezzük az A pont G-re vonatkozó polársíkjának.
Ez a pont → sík hozzárendelés megfordítható. Legyen S a tér egy O-ra nem illeszkedő síkja, TS a G gömb O középpontjának az S-re eső merőleges vetülete, PS a TS pontnak a G-re vonatkozó inverze. A PS pontot nevezzük az S sík G-re vonatkozó pólusának.
Belátható, hogy az így értelmezett polaritásnak nevezett geometriai transzformáció, amelynek G az alapgömbje,
- involutórikus: egy A pont G-re vonatkozó polársíkjának ugyancsak G-re vonatkozó pólusa maga az A pont;
- illeszkedéstartó: ha a B pont illeszkedik az A pont polársíkjára, akkor B polársíkja is illeszkedik az A pontra;
- az e=(A,B) egyenesre illeszkedő C pont SC polársíkja illeszkedik A és B pontok polársíkjainak az e'=SA∩SB metszésvonalára, így e' -t nevezhetjük az e egyenes polárisának;
- egy egyenes és polárisa merőleges egymásra, a gömb középpontjának az egyenesekre eső merőleges vetületei egymás inverzei;
- ha egy egyenes érinti a polaritás alapgömbjét, akkor a polárisa is érinti, ugyanott;
- Az illeszkedéstartás az egyenesekre is kiterjed: ha egy egyenes illeszkedik egy pontra, akkor polárisa illeszkedik a pont polársíkjára.
A fenti appletben bemutatott szerkesztéseknek lényegében egyetlen céljuk volt: megmutattuk, hogy ha adott három pont a térben, és egy polaritás alapgömbje, akkor miként lehet megszerkeszteni a három pont síkjának a polárisát. Ehhez a feladathoz azonban nincs is szükségünk ezekre a szerkesztésekre.
Ugyanis a gömbre vonatkozó polaritásnak van egy fontos tulajdonsága: az A(ax,ay,az,) pont origó középpontú r sugarú alapgömbre vonatkozó polársíkjának az egyenlete: ax·x +ay·y +az·z =r2
Ha az alapgömb középpontja (u,v,w), akkor az egyenlet: ax·(x-u) +ay·(y-v)+az·(z-w)=r2 .
Ebből adódóan a három pont koordinátáit ismerve felírhatunk egy háromismeretlenes lineáris egyenletrendszert, amelyet megoldva megkaphatjuk e pontok síkjának a pólusát. Erre már célszerű készítenünk egy saját eljárást amelyet várhatóan igen sokszor tudunk alkalmazni.
A következő appletben már ezt az eljárást fogjuk használni.
Tanulságul ide másoljuk az eljárásban felhasznált parancsokat:
Az eljárás bemenő adatai a térbeli koordinátarendszerben felvett - így mozgatható A, B és C pont, továbbá az origó középpontú alapgömb r sugara. (Mint később látni fogjuk, elegendő az origó középpontú alapgömbbel számolnunk.)
A Cramer szabály alapján:
d=Determináns({{x(A), x(B), x(C)}, {y(A), y(B), y(C)}, {z(A), z(B), z(C)}})
d_X=Determináns({{r², r², r²}, {y(A), y(B), y(C)}, {z(A), z(B), z(C)}})
d_Y=Determináns({{x(A), x(B), x(C)}, {r², r², r²}, {z(A), z(B), z(C)}})
d_Z=Determináns({{x(A), x(B), x(C)}, {y(A), y(B), y(C)}, {r², r², r²}})
D=(d_X / d, d_Y / d, d_Z / d)
Az eljárás akkor tér vissza "nem definiált" eredménnyel, ha az A, B, C pontok egy egyenesre esnek, vagy az (A, B, C) sík illeszkedik a (0,0,0) pontra.
Egy poliéder él duálisa
Közönséges poliédernek nevezzük azt a poliédert amelyek
- lapjai egyszerű sokszögek; (Az egyszerű sokszögnek pontosan egy határvonala van, a határvonalat alkotó éleknek (mint szakaszoknak) csak a két szomszédos éllel van közös pontjuk, ezek a sokszög csúcsai. A sokszög összes csúcsa egy síkban van.)
- bármely két lapjának legfeljebb egy közös csúcsa, vagy egy közös éle lehet, további közös pontjai nem lehetnek.
- Egy poliéder-élnek egy adott G gömbre vonatkozó duálisán azt a szakaszt értjük, amelynek a végpontjai az élhez tartozó két lap G-re vonatkozó polárisai.
Ezek után -látszólag - egyszerű feladatnak tűnik egy tetszőleges poliéder duálisának az előállítása. Bár - mint mindig - az ördög a részletekben bujkál.
Ha az eredeti poliéder egy-egy csúcsára több mint három él illeszkedik, akkor az eljárás garantálja, hogy a csúcs duálisának megfelelő lap csúcsai egy síkban lesznek, arról azonban külön gondoskodnunk kell, hogy ezeket abban a sorrendben kössük össze sokszögvonallal, ahogy az eredeti csúcs körüli testszöglet lapjai követik egymást. Azonban még így sem lehetünk biztosak abban, hogy a kapott sokszög egyszerű, önátmetszés nélküli sokszög lesz. Az azonban belátható, hogy ha egy poliéder konvex, és a dualitás alapgömbjének a középpontja ennek egy belső pontja, akkor a duális poliéder is konvex lesz. Az alábbi appletből az is kitűnik, hogy az alapgömb sugara csak a duális poliéder méretét befolyásolja, az alakja csak az eredeti poliéder és az alapgömb középpontjának a kölcsönös helyzetétől függ.
A fenti appletben lényegében egy általános oktaéder csúcsait adtuk meg. Ha jelölőnégyzettel bekapcsoljuk a "szerkesztés" üzemmódot, akkor mozgathatók az oktaéder csúcsai. Ez persze azt jelenti, hogy a duálisa nem kocka, "csak" egy kockaszerű (a kockával azonos kombinatorikus szerkezetű) poliéder lesz.
Előfordulhat, hogy a kapott alakzat néhány lapja önátmetsző. Ezt arról (is) észrevehetjük, hogy ebben az esetben megváltozik az önátmetsző lap színe.
Még egy egyszerű (általános) oktaéder duálisaként is kaphatunk önátmetsző alakzatot.
Éppen ez a változatosság teszi izgalmassá egy-egy duális poliéder előállításának (előállíthatóságának) a kérdését.