Axiomas Vectores en R2
Verificaremos cada axioma para para comprobar que el conjunto de todos los puntos del plano cartesiano, con las operaciones estándares, tiene estructura de espacio vectorial real y estándar
Axioma 1: (La suma es cerrada) Para todo u,v de R2, el vector u+v también "vive" es un punto del plano cartesiano
La idea para demostrar que no se cumple:
arrastra u y v de tal manera que la suma s no sea un punto del plano
Que no lo veas a s en la pantalla, no significa que s no sea un punto del plano, probablemente solo sea cuestión de cambiar la escala.
Finalmente: ¿Qué es lo que caracteriza a cualquier punto como que pertenece ("vive" en el) al plano cartesiano R2?
simplemente que tenga dos componentes, y que cada componente sea real.
Por tanto estás listo para validar que el axioma 1 se cumple en este caso: mientras s tenga dos componentes y cada componente sea real, se cumplirá
Axioma 2 (la suma es asociativa): Para todo u,v,w de R2, el vector (u+v)+w=u+(v+w)
El deslizador elige mostrarte un cuenta o la otra.
Las sumas parciales y te sirven de guía.
Quizá la mejor forma de visualizar este axioma sea reemplazar los puntos por flechas y usar la analogía de la suma de vectores en forma funicular
Axioma 2 (la suma es asociativa): Analogía con flechas (1-2)
Mueve el deslizador y verás (suma por el método del paralelogramo) que se puede asociar tres vectores.
También puedes cambiar cada vector simplemente "estirando" la respectiva flecha, o en la ventana algebraica.
Otro método para visualizar el mismo axioma 2 (la suma poligonal) se ve abajo
Axiomas 3 y 4: existencia de neutro y opuesto
En este caso, usamos el mismo applet, porque es bastante intuitiva la idea del vector nulo para la operación de suma estándar
Axioma 5: Ley conmutativa
Esta ley se prueba visualmente solamente moviendo el deslizador y prestando atención
Axioma 6; Este axioma es similar al primero. Hay que escalar un vector del plano y verificar que el escalado es también vector del plano.
Axioma 7: Distributividad del escalamiento en la suma
Axioma 8: Distributividad de la suma en el escalamiento.
Axioma 10: Producto y escalamiento (Asociatividad mixta)