Teorema del sándwich
En esta página enunciamos el teorema del emparedado (sin demostración) y lo aplicamos para calcular el límite de la función sin(x)/x cuando x tiende a infinito positivo.
1. Introducción
El teorema del emparedado o del sándwich es un teorema que permite calcular el límite de funciones que se encuentran acotadas por otras dos funciones cuyos límites son iguales.
Se trata de un resultado muy intuitivo y existen varias versiones (para sucesiones, series, funciones con varias variables, etc.).
2. Teorema del sándwich o del emparedado
Sean g, f y h funciones definidas en el intervalo I que contiene al punto a tales que
Supongamos también que
Entonces,
Nota: las funciones pueden no estar definidas en el punto a.
Nota 2: L debe ser finito.
Supongamos también que
Entonces,
Nota: las funciones pueden no estar definidas en el punto a.
Nota 2: L debe ser finito.3. Ejemplo de aplicación
Como el seno toma valores en el intervalo [−1,1],
Sólo tenemos que dividir entre x en esta relación para poder aplicar el teorema.Como estamos calculando el límite cuando x tiende a +infinito, podemos considerar x>0 y, por tanto, podemos dividir entre x sin cambiar los signos de desigualdad:
Como el límite de -1/x y el de 1/x coinciden y es igual a 0, por el teorema del emparedado, tenemos
Nota: No podemos aplicar este mismo razonamiento para calcular el límite cuando x tiende a 0 porque los límites de las funciones utilizadas (±1/x) son distintos e infinitos. No obstante, podemos calcular su límite aplicando el mismo teorema, pero con funciones distintas.
Más ejemplos, versiones y demostración en teorema del emparedado.