Gravitazione - Orbite circolari, moto circolare uniforme
Un caso speciale di moto orbitale è quello circolare*. I due corpi di massa m1 e m2 - attratti con forza F - ruotano attorno al loro centro di massa. Si tratta di un tipico problema "dei due corpi". Lo studio di questo problema può essere ridotto allo studio del moto circolare di un solo corpo di "massa ridotta" μ. In alternativa si può, al posto della massa ridotta, mantenere la massa m1 e introdurre una forza inerziale Fi - tipica dei riferimenti non inerziali - che si aggiunge ad F coerentemente con le leggi del moto circolare uniforme.
---
*Per il moto ellittico dei pianeti si vedano https://www.geogebra.org/m/rAuvT3Pk
Massa ridotta
La velocità angolare nei due riferimenti
Se le posizioni di m1 e m2 sono r1 e r2, con r= r2 - r1, e se il centro di massa C è nell'origine rC= 0 = (m1 r1 + m2 r2)/M
allora m1 r1 + m2 (r+r1) = 0 e r1=-m2 r/(m1+m2)=m2 r/M
Essendo F=F1=-F2=m1 ω2 r1 =-m2 ω2 r2 La velocità angolare sarà
ω=√(F/(m1 |r1|))=√(F/(m2 |r2|))
sostituendo| r1|=m2 r/M in nella prima formula ottengo ω=√ (F/(m1 m2 r /M))
posto μ = m1 m2/M otteniamo ω= √ (F/(μ r)
Quindi la stessa velocità angolare può essere riscritta in funzione di μ, F ed r.
I dati di relazione tra i due corpi - distanza, velocità e accelerazione relativa, comune velocità angolare, forza reciproca - possono essere calcolati con il nuovo modello.
Per quanto riguarda la forza, notiamo che F=G m1 m2 / r2 = G (m1 m2/M) M / r2 = G μ M / r2
Questo metodo permette di trasformare il problema di due corpi (in moto reciproco) in un problema di un solo corpo (in moto).
Il modello è valido anche se forze, distanze, accelerazioni, velocità, velocità angolare variano nel tempo.
Forza inerziale
La velocità angolare nei due riferimenti - metodo alternativo
Per quanto l'uso del metodo della massa ridotta sia il più usato, è possibile applicare anche un secondo metodo per ottenere il secondo grafico, infatti quello che ci interessa nel moto di raggio r è l'accelerazione centripeta, su cui si può intervenire intervenendo sulla massa oppure sulla forza.
Se nel secondo riferimento si intende collocare, il corpo di massa m1 > μ nella posizione del corpo di massa μ, sarà necessario - al fine di mantenere identici r e ω - aumentare la forza centripeta, che dovrà passare da F a F+Fi con Fi forza inerziale.
Di conseguenza si otterrà la relazione F+Fi=m1ω2r=m1ω2|r1|+m1ω2|r2| da cui
Fi=m1ω2|r2| =m1a2 .
Il corpo di massa m1 subirà un'accelerazione supplementare, che è quella del corpo di massa m2 rispetto al centro di massa. In questo modo l'accelerazione "relativa" tra i due corpi rimane la stessa, essendo uno dei due corpi immobile.
Le due trattazioni sono equivalenti, anzi, questa seconda trattazione poteva direttamente essere derivata dalla prima: dalla definizione di μ sappiamo che 1/μ =1/m1 + 1/m2 = 1/m1 + (m1/m2)/m1 = (1+m1/m2)/m1 per cui
ω2 = F/(μ r) = F (1+m1/m2)/(m1 r)=( F +F m1/m2)/(m1 r)=( F +m1 a2)/(m1 r) e si può porre m1 a2 = Fi