6.2 Pythagoras 3D mit Vektoren visualisiert
Es ist eine dreiseitige Pyramide ABCD mit A, B, C auf den positiven Koordinatenachsen und D im Ursprung gegeben.
Man kann A, B und C auf den jeweiligen Achsen ziehen. Bei Bedarf kann man auch die Ansicht drehen.
Der 3D Pythagoras besagt anschaulich: Die Quadrate der blauen Seitenflächen mit dem rechten Winkel sind zusammen genauso groß wie das Quadrat der orangenen Grundfläche.
Das erinnert strukturell stark an die Formel für die Raumdiagonale eines Quaders.
Zu den blauen Seitenflächen mit den rechten Winkeln werden (passend orientiert) die halbierten Kreuzprodukt-Vektoren u, v, w erzeugt (graublau), die den Flächeninhalten der blauen rechtwinkligen Dreiecke entsprechen.
Zu der orangenen Grundfläche ABC wird der halbierte orangene Kreuzprodukt-Vektor d erzeugt, der dem orangenen Dreieck ABC entspricht.
Die Länge dieser Vektoren steht also für den Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks.
Aus den graublauen Vektoren u, v, w, die auf den Achsen liegen müssen, wird ein Quader erzeugt.
Man stellt dann fest, dass der orangene Vektor d die Diagonale im Quader liefert.
Also ist anschaulich d = u + v + w (als Vektorsumme!).
Rechnerisch ist dann in diesem Fall auch u² + v² + w² = d².
Dieser Ansatz zeigt, dass Mathematik eine Wissenschaft von Strukturen ist.
Die Idee verdanke ich Hartmut Müller-Sommer, Vechta.
Schön ist der strukturelle Bezug zu Quader und Raumdiagonale.
Es gibt hier aber nicht die Möglichkeit, die 2D Pythagorasfigur als Spezialfall zu erhalten.