Dreieck, Sechseck, ...
Ein Weg, ein regelmäßiges n-Eck so zu zerlegen, dass die Teile ein Quadrat bilden können, ist zunächst die Umformung zu einem Parallelogramm. Dafür benötigt man maximal n+1 Teile, wie die Abbildung für ein Neuneck zeigt. Ein Parallelogramm wiederum lässt sich immer mit endlich vielen Schritten zu einem Quadrat verwandeln. Die Suche nach einer Quadratur eines n-Ecks kann trotzdem reizvoll sein, wenn eines der folgenden Ziele verfolgt wird:
- mit wenigen Teilen auszukommen
- besonders ansprechend aufzuteilen, z.B. durch Symmetrien
- eine zusammenhängende Aufteilung zu erreichen
Dem englischen Mathematiker und Rätselerfinder Henry Ernest Dudney gelang es 1903, ein gleichseitiges Dreieck so in 4 Teile zu zerlegen, dass diese zu einem Quadrat zusammengefügt werden konnten (siehe auch: en.wikipedia.org/wiki/Henry_Dudeney).
Bei einem Modell verband er die Teile mit Scharnieren und konnte sie dann wahlweise zu einem Dreieck oder einem Quadrat zusammenklappen (hinged dissection = zusammenhängende Zerlegung).
Ich fand diese Zerlegung 1979 in einem Mathematikschulbuch, in dem auch eine Konstruktion für die Zerlegung angegeben war. Sie erschien mir etwas umständlich, und ich konnte sie durch Anwendung des Kathetensatzes anstelle des Höhensatzes vereinfachen (siehe nächste Seite). Im gleichen Jahr zeigte ein Plakat zum Bundeswettbewerb Mathematik die Zerlegung eines Sechsecks in sechs Teile, aus denen sich ein Quadrat legen ließ. Das führte zur Frage, wie man diese Aufteilung konstruieren kann, und auch dabei erwies sich der Kathetensatz als sehr geeignet. Dann versuchte ich, eine Zerlegung für ein regelmäßiges Fünfeck selbst zu finden. Meine damaligen Notizen und analogen Zeichnungen möchte ich hiermit in zeitgemäßer Form und mit einigen Ergänzungen zusammenfassen. n-Ecke mit n>6 werden in diesem Buch nicht weiter thematisiert.