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III. Ermitteln der Funktion (Teil 1)
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Statische Ansicht
Die Kette hängt zwischen den Aufhängepunkten A und B, die voneinander einen Abstand von ungefähr 1,4m haben.
Das Bild wird so in das Koordinatensystem eingepasst, dass diese beiden Punkte symmetrisch zur y-Achse liegen.
Die x-Achse könnte beliebig gelegt werden, hier verläuft sie ungefähr auf der Höhe der Oberkante der Steinmauer.
Bei dieser Wahl von Maßstab und Lage der Achsen befinden sich die Aufhängepunkte bei
A=(-0.70|0.53) und B=(0.70|0.53).
Anpassen der Funktion mit Hilfe eines GeoGebra-Applets
Um die Kette in der Abbildung durch eine Cosinus hyperbolicus Funktion zu beschreiben, muss diese Funktion angepasst werden:
- Streckung oder Stauchung um einen Faktor in y-Richtung
- Streckung oder Stauchung um denselben Faktor in x-Richtung
- Verschiebung in y-Richtung, so dass der Graph durch die Punkte A und B verläuft.
Die Streckung in y-Richtung erfolgt durch Multiplikation der Funktion mit einem Faktor:
.
Mit werden dadurch z.B. alle Funktionswerte doppelt so groß.
Die Streckung in x-Richtung erfolgt dadurch, dass durch ersetzt wird.
Ist z.B. , so werden die gleichen Funktionswerte wie vorher erst bei einem doppelt so großen x-Wert erreicht.
Also lautet unsere Funktion vorläufig
Der Graph dieser Funktion wandert mit größer werdendem jedoch immer weiter nach oben.
Er soll jedoch unabhängig von stets durch die Punkte A und B verlaufen.
Dazu wird der Graph nun in zwei Schritten in y-Richtung verschoben:
- An den Stellen der Aufhängepunkte bei mit hat der bisherige Funktionsterm den Wert . Ziehen wir diesen Wert bei der Funktion ab, so wird der Graph bei die x-Achse schneiden, dort also Nullstellen haben.
- Nun muss der Graph nur noch um die Höhe nach oben verschoben werden, damit er durch die Aufhängepunkte verläuft.
Das Bild wurde jetzt in den Hintergrund gelegt.
Die Funktion ist mit und mit variablem Parameter dargestellt.
Stellen Sie den Wert für mit dem Schieberegler so ein, dass der Graph möglichst genau mit der Kette übereinstimmt!