Archimedische Körper in der Schule?!
Poplär aufbereitet
Dass die Archimedischen Körper auch populär sind, kann man im Artikel von Heise Online: Zahlen Bitte! 13, Archimedes und die Fußbälle sehen, der 2017 von Volker Zota erschien. Allerdings beschäftigte sich Rudolf Steiner schon mit einer Didaktik zur räumlichen Geometrie und fordert, dass der Unterricht vom Raum zum Punkt erfolgen müsse (Adam,Wyss,1984), nicht umgekehrt. Auch Freudental kommt zu diesem Schluss, denn er formuliert:
Geometrie auf der niedrigsten, der nullten Stufe ist [...] die Erfassung des Raumes, [...] in dem das Kind lebt, atmet, sich bewegt, den es kennenlernen muss, den es erforschen und erobern muss, um in ihm besser leben, atmen und sich bewegen zu können.
[Freudenthal, 1973, S. 376, f., zitiert nach Sträßer/Elschenbroich, 2024]Dabei gilt als Raum die natürliche Umgebung der Wahrnehmung , der undifferenziert als RAUM bezeichnet wird. Leider wird dieser Zugang in der Schule allzuoft vernachlässigt, obwohl gerade bei Körpern auf die natürliche Erfahrung der Lernenden zurückgegriffen werden könnte, gehören doch Bauklötze jeglicher Form zu den Grunderfahrungen der Kinder. Auch das Foto des Titelfotos ist ein Spielzeug, in dem ein Kuboktaeder zu einem Sternkörper umgeklappt wird, und die Fotos der Flächenfolge sind mit den Klickis® gemacht, die zum Zusammenbau von fast allen Archimedischen Körpern genutzt werden können, außer denen, die Achtecke und Zehnecke benötigen. Damit hätte man einen haptischen Zugang, aus der Erfahrungswelt der Lernenden und kann auf Grunderfahrungen (Winter, 1972) aufbauen.
Raum - eine Begriffsnäherung
Da die Feuerzangenbowle fast rituell mindestens einmal im Jahr im deutschen Fernsehen läuft, kann man auch hier zunächst die Frage aus dem Film 'Watt issen ne Dampfmaschin?' umwidmen und fragen: 'Was ist ein Raum?'
Ohne jetzt hier die Geschichte der Philosophie zum Raum abzubilden, muss zumindest erwähnt werden, dass eine Definition eines Raumes nicht ganz einfach ist. Der o.g. physikalische Raum in der Dimension 3 -mathematisch R3- ist der Wahrnehmungsraum, in dem alle Menschen groß werden, und der sollte auch möglichst nicht verkompliziert werden (vgl. Freudenthal, 1973). Da jedoch in einer ökonomisierten Welt 'Zeit ' Geld' ist, verzichtet man in Schulen weitgehend darauf, diesen natürlichen Raum näher zu betachten, schon gar nicht im Geometrieunterricht. Ein Grund dafür ist sicherlich in der schwierigen Form einer entsprechenden Abbildung auf einer Zeicheneben zu finden.
Die technische Entwicklung hat nun das Werkzeug einer dreidimensionalen Geometriesoftware hervorgebracht, die man mit fug und recht als virtuellen Handlungsraum (Schumann, 2007) bezeichnen kann. Das vorliegend Buch zeigt nun, wie man mit Lernumgebungen in diesem Handlunsgraum die Archimedischen Körper in den Fokus nehmen kann, ohne 'Zeit' zu verschwenden. Dabei sei erwähnt, dass eine Nutzung dieses virtuellen Handlungsraumes ohne haptische Begleiterfahrungen vermutlich keine nachhaltigen mathematischen Erkenntnisse liefern wird. Dies scheint mir in der aktuellen Diskussion wichtig zu erwähnen, denn es formiert sich eine immer lauter werdende Ablehnungsdebatte zum Einsatz virtueller Handlunsgräume, was Hans Jürgen Elschenbroich zu einem Standpunkt veranlasste (MNU Journal, 01/2024), in dem noch einmal deutlich darauf hingewiesen wird, dass virtuelle Handlunsgräume lernförderlich sind. Dafür müssten die Protagonisten des Lernens, im Umgang damit geschult werden, und das gilt in gleichem Maße für die Lernenden und die Lehrenden. In diesem Zusammenhang gibt es also zwei Räume, den physikalischen Erfahrungsraum und den virtuellen Handlungsraum, deren Verschmelzung im Idealfall einen Lernraum bilden, und somit räumliche Geometrie haptisch und theoretisch erfahrbar machen. Wie man das Curricula verankern kann, hat Franziska Finster 2018 in ihrer Diplomarbeit sehr schön ausgeführt, und bedarf an dieser Stelle zunächst keine weitere Ausschärfung.
Geometrie - Tür zum Weltverständis
In der Platonischen Akademie findet man neben Mathematik die Geometrie als eigenständiges Fach und Platon sagt über die Geometrie:
„die Bedeutung der Geometrie beruht nicht auf ihrem praktischen Nutzen, sondern darauf, daß sie ewige und unwandelbare Gegenstände untersucht und danach strebt, die Seele zur Wahrheit zu erheben“.
(WIKIVERSITY)
Wörtlich übersetzt bedeutet Geometrie Landvermessung, aber dieser Ursprung wird in Schulen allenfalls noch erwähnt, doch die Kugelgestalt der Erde bietet eine ganze Menge an geometrischen Überlegungen und Erkenntnissen, die man in den Unterricht einbinden kann.
Da die Kugel auch bei den Archimedischen Körpern eine wichtige Rolle spielt -die Körper werden mit steigender Eckenzahl immer runder- ist hier eine Analogie zum Kreis möglich, wobei es wünschenswerte wäre, mit der Kugel anzufangen.
Um eine intellektuelle angemessen Stufung zu ermöglichen, kann man mit Analogien (Schumann, 2007) aus der euklidischen Geometrie arbeiten -oder umgekehrt-, und darauf verweisen. Als Beispiel in diesem Buch sei auf das Kapitel Archimedische Dualkörper hingewiesen, in der die Quadratverdopplung anlalog beim Würfel durchgeführt wird. Dabei entshet allerdings kein Würfel (Delisches Problem) , sondern dass Rhombendodekaeder, ein Catalanischer Körper mit dem doppelten Rauminhalt des Ausgangswürfels.
Hier lassen sich sowohl die Grenzen von Analogien als auch deren Fruchtbarkeit im Erkenntnisprozess zeigen.
Die Liste der historischen Geometer ist lang , aber stellvertretende muss man als großen Fan der Geometrie Johannes Kepler ansehen, der damit auch als Schlüssel der Moderne angesehen werden kann. (Bredekamp/Wedepohl, 2015).
Dynamisches Denken - eine alte Forderung im neuen Licht
Bekanntermaßen forderte schon Felix Klein in seiner Meraner Reform 1906, dass die Erziehung der Jugend eine Erziehung zum funktionalen Denken sein müsse, was eine langen Nachhall fand, so heißt es in einem Bericht von 1908:
Diese Gewohnheit des funktionalen Denkens soll auch in der Geometrie durch fortwährende Betrachtung der Änderungen gepflegt werden, die die ganze Sachlage durch Größen- und Lagenänderung im einzelnen erleidet, z.B. bei Gestaltsänderung der Vierecke, ... (Gutzmer, 1908)
Funktionen beziehen immer die Veränderung in Abhängigkeit von ein - wenn man den Begriff nicht künstlich statisch hält, was in den letzten Jahren in der Schule zu beobachten ist. Veränderungen sind also dynamische Prozesse, die insbesondere mit dynamischer Geometriesoftware visualisiert werden können, sowohl im R2 als auch im R3.
Jürgen Roth hat das als bewegliches denken bezeichnet (Roth, 2005) und wie folgt zusammengefasst:
- Argumentieren durch das 'hineinsehen' in einer Bewegung in eine Konfiguration
- eine Gesamtkonfiguration erfassen und analysieren
- das Änderungsverhalten erfassen und beschreiben