Euklidische Koordinaten im Geradenraum
Ein euklidisches Koordinatensystem ist eine orientierte Basis im komplexen
Geradenvektorraum mit , für welche die beiden Produkttabellen gelten:
- Die Punkte auf der Möbiusquadrik mit Ausnahme von erreicht man durch die komplexe Parametrisierung der Berührgeraden: . Es gilt:
- Die Verbindungsgerade zweier Punkte : , es ist .
- ist eine Gerade, wenn gilt:
- Zwei Geraden schneiden sich, wenn und gelten. Die Geraden schneiden sich dann für die Diskriminante gilt.
- Sind verschiedene Punkte der Möbiusebene, und sind und die Verbindungsgeraden, so trennen sich die Punkte-Paare genau dann harmonisch, wenn gilt: da die Geraden sich schneiden, liegen die Schnittpunkte mit der Möbiusquadrik in einer Ebene, also auf einem Kreis. Die harmonische Lage wird durch die Beziehung nachgewiesen. Dabei ist das komplexe Doppelverhältnis der 4 Punkte.
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Möbius-Werkzeuge circle-tools (April 2019) Diese Seite ist Teil des geogebra-books Kugel-Kegel-Schnitte (August 2018)
Das Applet unten zeigt den Versuch, mit den oben angegebenen komplexen Vektoren in geogebra zu rechnen. sind komplexe Vielfache der Orthonormal-Basis des Euklidischen Vektorraums, können als Tangentialvektoren an die Zahlenkugel in bzw. in 0 gedeutet werden.
Definiert werden die Vektoren teils im Algebra-Fenster, teils in CAS. Skalarprodukt und Kreuzprodukt funktionieren komplex nur in CAS.
Die Gültigkeit der obigen Tabellen ist exemplarisch nachgeprüft. , sind die Tangentialvektoren in , die Verbindungsgerade ist .
Auf der nächsten book-Seite versuchen wir, die Lage von 4 Punkten mit komplexer Vektorrechnung zu ermitteln.