Muoversi ... senza uscire dal piano
le isometrie dirette (o movimenti)
- rotazione seguita da traslazione (roto-traslazione): è una trasformazione composta del tipo Tv
Ru con u
U e vC
- una figura F viene trasformata da una roto-traslazione in una figura F' che non solo mantiene sia la forma sia la grandezza di F, ma è ottenibile a partire da F senza uscire dal piano C, ossia con un movimento, "dentro" al piano stesso, che sovrappone F a F'. Per contro, la coniugazione porta una figura in un'altra di uguale forma e grandezza, ma ottenibile da quella di partenza solo con un ribaltamento intorno all'asse reale, quindi "uscendo" dal piano. Le roto-traslazioni sono perciò dette isometrie dirette o movimenti
- formula di un'isometria diretta: ricaviamo subito, dalla definizione: (TvRu)(z) = u•z + v
- traslazione seguita da rotazione: anche RuTv è una roto-traslazione, in quanto:
(RuTv)(z) = u(z+v) = uz+uv = (Tu vRu)(z),
per cui: RuTv = Tu vRu
- proprietà dei movimenti:
- la composizione di movimenti dà un movimento: infatti, tenendo presente l'associatività della composizione di funzioni, nonché il criterio appena illustrato per scambiare l'ordine di composizione di rotazione e traslazione, si ha:
(Tv'Ru')(TvRu) = Tv'(Ru'Tv)Ru = Tv'(Tu'vRu')Ru = (Tv'Tu'v)(Ru'Ru) = Tv'+u'vRu'u
- l'identità come movimento nullo: osserviamo che id = T0 = R1 = T0R1
- inversione di un movimento: il movimento TvRu composto con il movimento R1/uT-v dà l'identità
- preservazione dell'orientamento: dati tre punti A, B, C e un movimento che li porti rispettivamente in A', B', C', i percorsi ABC e A'B'C' sono o entrambi orari o entrambi antiorari (brevemente si dice che sono concordi).