１４．指数関数
１．指数法則と数の拡張
＜指数法則と指数関数＞
１以外の正の数aを定数とする。aを底(base)という。
ｘを数のaの右肩にかいて、aをｘ個かけ算することを指す数（指数、index)として使う。
ｘからax（aのｘ乗）を対応させる関数を指数関数(Exponetial、Power)という。
y=pow(a,x)=ax
ｘの定義域を正の整数とするとき、以下の指数法則が成り立つ。
１．am×an=a(m+n) 関数形式ではpow(a,m)×pow(a,n)=pow(a,m+n)
２．am／an=a(m-n) 関数形式ではpow(a,m)／pow(a,n)=pow(a,m-n)
３．(am)n=am･n 関数形式ではpow(pow(a,m),n)=pow(a,m･n)
（例）a3a2=a5 ,a3/a2=a1, (a3)2=a3a3=a6
＜指数を負の整数へ＞
指数法則２番目で、
m=nのときを考えてみよう。
am/am=1となるが、am/am=a(m-m)=a0だから、a0=1という法則ができる。
関数形式では、pow(a,0)=1となる。グラフy=axは（０，１）を通る。
さらにm=n-1のときを考える。
am/an=a(m-n)=a(-1)。分数にしてamで約分すると、am/an=1/aとなる。a-1=1/aという法則ができる。
さらに、m=n-kにすれば、a-k=1/akという法則もできる。
指数を負に拡張しても指数法則が成り立つ(証明略）
指数mが負の数でも、amは正のままなので、グラフｙ＝axの値域は正。
（例）100=1, 3-2=1/32,x-1=1/x, x2y-2=(x/y)2
a-2×a-3=a-5、a-2/a-4=a(-2+4)=a2
＜指数を有理数へ＞
指数法則の３番目で、mが分数になる場合を考える。つまり、
(am)n=a1なら、mn=1となり、ｍ=1/nで、ｎは逆数という法則がきる。
たとえば、x2=(am)2=aとすると、ｘはaの平方根だから、a1/2=√aとなる。
さらに、xn=(am)n=aとすると、xはaのｎ乗根だから、a1/n=n√aとなる。
指数を有理数に拡張しても指数法則が成り立つ(証明略）
（例）a1/2 a1/3=a5/6
（例）a1/2 /a1/3=a1/6
（例）
（例）(a1/2) 3/2=a3
２のマイナス乗は
２の分数乗は
2の無理数乗は
2.指数と大小
＜指数と累乗根＞
ｙ＝ax
は単調変化関数なので、aが１より大きければ、ｘの大小順とｙの大小順は同じ。
aが１より小さいと逆転する。
（例） の大小は？
だから、大きい順にならんでいるから、もとも大きい順。
（例） の大小は？
で、底が同じで指数が大きい順にならんでいるから、大きい順。
＜指数関数と大小問題＞
２x などをｔなどにおきかえた方程式、不等式にすると、t>０という範囲で解くことになる。
（例）2x+22-x=5 の解は？
22-x=22/2xだから、2x=tとおくと、t+4/t-5=0。t2-5t+4=(t-4)(t-1)=0.
2x=t=1,4となるから、解はx=0,2。
（例）9x-10･3x+9>0を満たすｘの範囲は？
3x=t>0とおくと、t2-10t+9=(t-9)(t-1)>0でt<1,9x<30,32<3x。解はx<0,2（例）y=4x-2x+2+1の最小値は？
2x=t>0とおくと、y=t2-4t+1=(t-2)2-3>=-3から最小値は−３。（軸t=2x=2、つまりx=1のとき）
（例）全実数ｘに対して22x+2+2xa+1-a>0となる実数aの範囲は？
★指数関数の合成と最小値
３．指数方程式・不等式
＜解と解の対応＞
・方程式f(x)=aでg(x)=2x=tなどをｔとおきf(x)=h(t)=yとする。
もし2x,2yなど2種の未知数があるときは、2x=X,2y=Yのようにおこう。
すると、ｔ，X,Yなどが指数関数の値域だから、正になる。これが定義域として正となることが
変化の範囲を調べる手がかりになるね。
・y=h(t)とy=aの交点の個数の変化を調べる場合、
t軸からｙの変化を調べるのではなく、逆関数のようにｙ軸の値を基準にして調べよう。
交点があれば、解のｔ座標をg(x)=tに入れて、さらにｘの個数を調べる必要がある。
（例）「(xはすべての実数）が成り立つaの範囲」は？
g(x)=2x=tとおくと、f(x)=4t2+at+1-a=4(t+a/8)2t-1/16a2-a+1=h(t)とおく。
・gの値域t,つまりh(t)の定義域は正。
hの軸t=-a/8は、a＞=0なら負にあるから,fの最小値のｙ切片h(0)=1-a>=0。
だから、aが非負ならa<1。（範囲１）
・a<0なら、軸が正にあるので、頂点のｙ座標h(-a/8)=-1/16a2-a+1>0であればよい。
辺々-16倍して、a2+16a-16<0。a<0の範囲で=0の解はa=-8-√(64+16)=-8-4√5
だから、aが負なら-8-4√5で（範囲２）
・範囲１と２を合併した範囲。
（例）「の最小値が-10となるaの値」は？
t=2x+2-xとおくと、相加平均が相乗平均以上だから、変域はtが２以上。
f(t)=t2-2-2at+1=t2-2at-1=(t-a)2-1-a2
軸t=aが2以上なら、最小値は-1-a2=-10から、a2=9。a=3。
軸t=aが2未満なら、最小値はf(2)=4-2a-1=3-2a=-10。これから、a=13/2これは2未満でないからダメ。
あわせて、a=3のみ。
（例）「aは2以下のときの実数解の個数とaの範囲」は？
t=2x+2-xとおくと、相加平均が相乗平均以上だから、tは２以上。
さらに2x=X>0とすると、t=X+1/X=g(X)となり、
グラフはt=Xが漸近線でX=1のとき最小値ｔ=2となる。
f(x)=t2-2-3at+2a2+2=t2-3at+2a2=(t-a)(t-2a)=h(t)=0の解t=a,2a。
t=a,t=2aをｔ軸に垂直な２直線を停止し、t=2の方を動かすことで、
t=2というt=g(X)の最小の頂点を示す位置をスライドして調べることができる。
aが２以下という条件はy=2はy=a以上にあること。
・a=2のとき、ｇと２直線は３点で交わるから解は３個。
・a=1のとき、2a=2だから、頂点が２直線の上の方に接するから１個。
・aが１と２の間なら、ｇは２直線の上の方と２点で交わるから２個。
・aが１未満なら、2a<2だから、頂点が２直線の上にあり、交点は０個。
★ｔ＝a、2aを止めて、ｔ＝2を動かす
４．オイラー数e
＜指数関数の底の効果＞
指数関数y=f(x)=axの特徴の重要な特徴は５つある。
１．(これはルール）底のaは１以外の正の実数なら何でもよいが、
実用的には２，１０，e（オイラー数）などをよく使う。
２．全実数から正の数への関数だ。
３．関数のグラフは（０，１）を通る。
４．単調変化。（aが１より大きいと単調増加。aが１より小さいと単調減少。）
５．指数法則が成り立つ。
＜オイラー数＞
袋の中に１からｎまでの番号が１つずつかかれたカードがある。
カードを１枚とってもどす試行をｋ回やって数字和がｎになる確率Pkを求めて総和Snを求めよう。
ｐk＝（ｎ−１個の区切りからｋ−１個選ぶ組み合わせ）÷ｎk
= 。２項定理から
P1からPnまでの総和Sn=
lim n・Sn＝ （Euler数、ネイピア数ともいう)
（例）
n=5, pow((1+1/5),5) =2.48..
n=50, pow((1+1/50),50) =2.69..
n=500, pow((1+1/500),500) =2.71556..
n=5000, pow((1+1/5000),5000) =2.71801..
n=10000, pow((1+1/10000),10000) =2.71814..
n=50000, pow((1+1/50000),50000) =2.71825...
n=1000000, =2.7182804...
n=10000000, =2.7182816...
＜オイラーのアイディア＞
オイラーは無限小・無限大という考えと2項展開を使って、
指数関数axを級数展開した。
無限小ωという量と無限大のj=x/ωを使うと、ω=x/j。aω＝１＋kωとなるｋがaの値にごとに決まる。
ax=(aω)x=(1+kω)j=(1+kx/j)j=1+j(kx/j)+j(j-1)/2!(kx/j)2+j(j-1)(j-2)/3!(kx/j)3+..........
jが無限大なら、(j-1)/j=(j-2)/j=...=1となり、jを使った係数は消える。
ax=1+kx+(kx)2/2!+(kx)3/3!+........
・k=1とおくと、.
・x=1とおくと、=2.7182818284590......
このように、オイラーは指数関数を無限項の多項式で再表現することを試みた。
それによって、特別な場合として、オイラー数がeという文字を使って命名した。