Die Isoquanten-Funktionsgleichung
Grafische Darstellung der Isoquante
Im folgenden werden immer zwei Produktionsfaktoren betrachtet: Der Produktionsfaktor (zum Beispiel Arbeitskraft) und der Produktionsfaktor (zum Beispiel Kapital).
Wie wir im vorhergehenden Kapitel festgestellt haben, sind diese beiden Größen für den Ertrag oder den Output des Unternehmens nicht unabhängig. Eine Person mit einem Aufsitz-Rasenmäher kann in der gleichen Zeit genau so viel Rasen mähen, wie z.B. 10 Personen mit einem Hand-Rasenmäher.
Je mehr Kapital eingesetzt wird, desto weniger Arbeitskraft ist notwendig. Das kann in jeder Branche wiedergefunden werden, in der Fließbandarbeit zunehmend durch automatisierte Prozesse ersetzt wird.
Wenn eine feste Menge an Output erzeugt werden soll, dann geht das mit unterschiedlichen Kombinationen der Produktionsfaktoren und . Diese Kombinationen kann man mit ihren Werten in einem Koordinatenkreuz darstellen. Dabei erhält man für jeden gewünschten Output einen Funktionsgraphen, die Isoquante.
Die Funktionsgleichung der Isoquanten hat drei Parameter, , und :
Die Parameter der Isoquanten
a = untere Grenze für x
Der Parameter gibt die Menge des Produktionsfaktors an, die überschritten werden muss, damit überhaupt etwas ökonomisch sinnvoll produziert werden kann.
b = untere Grenze für y
Der Parameter gibt die Menge des Produktionsfaktors an, die überschritten werden muss, damit überhaupt etwas ökonomisch sinnvoll produziert werden kann.
k = ein Maß für den Output
Der Parameter steht in direkter Beziehung zum Output. Wenn und gleich bleiben, dann bedeutet ein höheres einen größeren Output des Unternehmens. Diese Abhängigkeit ist allerdings in der Regel nicht proportional.
Output bei unterschiedlichen Kombinationen der Produktionsfaktoren x und y
Berechnen der Isoquantenfunktion
Aus der Tabelle oben lassen sich Kombinationen von und ablesen, die zu dem gleiche Ertrag führen.
Zum Beispiel die gelb hinterlegten Zahlen entsprechen den Kombinationen: , und .
Damit haben wir drei Informationen über unsere gesuchte Isoquantenfunktion für einen Output von . Das ist genug information um 3 unbekannte Parameter zu berechnen:
Einsetzen von in die Isoquantenfunktion ergibt:
Wenn man die gesamte Gleichung mit multipliziert, dann hat man eine Gleichung, in der es keinen Bruch mehr gibt:
Wenn man das gleiche mit den anderen beiden Kombinationen auch noch macht, dann erhält man drei Gleichungen:
Wenn wir von der ersten Gleichung die zweite abziehen, dann haben wir einen Parameter, das k schon beseitigt:
Das gleiche kann man mit den Gleichungen und machen:
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur noch und enthalten. Das führt zu dem neuen Gleichungssystem:
Wenn wir die erste Zeile mit drei multiplizieren und dann Gleichung von Gleichung abziehen, erhalten wir
und durch Auflösen nach folgt daraus
Dieses A können wir in die Gleichung einsetzen, welche wir nach auflösen. Daraus folgt
Wenn wir diese berechneten Werte für und in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:
Lösen Sie diese Gleichung nach auf und Sie erhalten
Damit sind alle drei Parameter bestimmt und unsere Isoquantenfunktion zum Output von heißt:
Wenn wir von der ersten Gleichung die zweite abziehen, dann haben wir einen Parameter, das k schon beseitigt:
Das gleiche kann man mit den Gleichungen und machen:
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur noch und enthalten. Das führt zu dem neuen Gleichungssystem:
Wenn wir die erste Zeile mit drei multiplizieren und dann Gleichung von Gleichung abziehen, erhalten wir
und durch Auflösen nach folgt daraus
Dieses A können wir in die Gleichung einsetzen, welche wir nach auflösen. Daraus folgt
Wenn wir diese berechneten Werte für und in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:
Lösen Sie diese Gleichung nach auf und Sie erhalten
Damit sind alle drei Parameter bestimmt und unsere Isoquantenfunktion zum Output von heißt:
Verwenden des CAS-Taschenrechners HP-Prime
Wie löst man diese Aufgabe mit dem Taschenrechner?