Abszolút geometriai kapcsolatok a P-modellen

Szerző:Szilassi Lajos

A P-modell eszköztárát használva vizsgáljuk meg, hogy az alábbi kijelentések miként tükröződnek a modellen. Azok az olvasóink, akik számára ismertek az inverzió (körre vonatkozó tükrözés) tulajdonságai, miként tudnák igazolni az alábbi állításokat?

Két pontra egy és csakis egy egyenes illeszkedik.
Az egyenes a síkot két részre – félsíkra – osztja.
A sík bármely egyenese meghatároz egy tengelyes tükrözésnek nevezett transzformációt, amely
- kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoz létre a két félsík pontjai között;
- egy pont tükörképének az ugyanerre az egyenesre vonatkozó tükörképe az eredeti pont;
- az egy egyenesre eső pontoknak a tükörképei is egy egyenesre esnek;
- a sík bármely két pontjához pontosan egy tükörtengely tartozik;
- egy tengelyesen szimmetrikus pontpárnak egy egyesre vonatkozó tükörképei is tengelyesen szimmetrikusak.

A geometria axiomatikus felépítésérnek egy lehetséges útja az, amelyben a tengelyes tükrözés imént felsorolt tulajdonságait fogadjuk el axiómaként. Ha ezt megtesszük kimondhatjuk, az alábbi – abszolút geometriai – definíciókat: Két egyenest merőlegesnek nevezünk, ha egyiknek a másikra vonatkozó tükörképe önmaga. Az egyenesek közötti merőlegesség szimmetrikus reláció. Két szakaszt – általában két síkgeometriai alakzatot – akkor tekintünk egyenlőnek (egybevágónak) ha tengelyes tükrözések sorozatával egymásba átvihetők. Mint látni fogjuk, a tengelyes tükrözéssel megadható a sík összes többi egybevágósági transzformációja. Sőt a kör(vonal) fogalma is értelmezhető anélkül, hogy a szakasz hosszát (mérését) értelmeznénk. Legyen adott síkban egy O és egy A pont. Az O középpontú A kerületi pontú körvonalnak nevezzük azoknak az A' pontoknak a mértani helyét, amelyekre teljesül, hogy OA és OA' egybevágó. Ezt a tengelyes tükrözésen alapuló felépítés lehetővé teszi az alábbi fogalmak kialakítását:

egyenesek közötti merőlegesség;
szakaszfelező merőleges (két pont tükörtengelye);
két félegyenes szöge;
a szögek közötti egybevágóság (egyenlőség);
a szögfelező (két, közös kezdőpontú félegyenes tükörtengelye).

A P-modell segítségével egyre pontosabban kirajzolódik az a mérföldkő, amit a párhozamossági axióma kimondása jelent, elválasztva a hiperbolikus geometriával közös – abszolút geometriai – fogalmakat, összefüggéseket a kizárólag csak az euklideszi, vagy csak a hiperbolikus geometriában érvényes fogalmaktól. A hiperbolikus síkon egy adott H-egyeneshez és a rá nem illeszkedő H-ponthoz legalább két olyan H-egyenese tartozik, amely az adott pontra illeszkedik és az adott H-egyenest nem metszi. Ez a legfontosabb összefüggés, amelyben eltér a P-modell az euklideszi geometriából közismert összefüggésektől. Bizonyítható – és ez a P-modellen is tükröződik –, hogy egy adott pontra illeszkedő egyenesek között végtelen sok olyan egyenes van, amely erre a pontra illeszkedik, és az adott egyenest metszi, ill. nem metszi, azaz párhuzamos. Ezt az egyenesekből álló két halmazt két egyenes választja el egymástól, amelyek ugyancsak nem metszők. Ezek az aszimptotikusan párhuzamos, másképpen (rövidebben) egyirányú, egyenesek, a többi nem metszőt ultrapárhuzamosnak, vagy eltérőnek szokás nevezni. Eszerint két H-egyenes kölcsönös helyzete lehet metsző, egyirányú és ultrapárhuzamos.

Abszolút geometriai kapcsolatok a P-modellen

Két egyenes kölcsönös helyzete

Új anyagok

Anyagok felfedezése

Témák felfedezése