kwinten en tertsen in een exponentieel model
Een reine kwint heeft een verhouding 3/2 ten opzichte van de grondtoon.
Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 3/2.
n kwinten hebben een verhouding (3/2)n ten opzichte van de grondtoon.
Een reine terts heeft een verhouding 5/4 ten opzichte van de grondtoon.
Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 5/4.
n tertsen hebben dus een verhouding (5/4)n ten opzichte van de grondtoon.
Ook 5 en 3 zijn onderling ondeelbaar.
Een macht van 3 zal nooit gelijk zal zijn aan een macht van 5.
Een geheel aantal tertsen kan dus nooit gelijk zijn aan een geheel aantal kwinten.
syntonische komma
De 4 kwinten komen hoger uit dan de 7 tertsen.
Wanneer we de terts berekenen vanuit gestapelde kwinten krijgen we als verhouding (3/2)4: 4 = 81/64 = 1,2656
Een reine terts heeft als verhouding 5/4 = 1,25.
De verhouding tussen beide noemen we het syntonische komma.
of ongeveer e van een hele toonafstand.
Met andere woorden: 4 reine kwinten = 1,0125 keer 7 reine tertsen.
een onoplosbaar probleem
Pythagoras, die dol was op natuurlijke verhoudingen, werkte van uit deze verhoudingen een toonsysteem uit. Maar... een toonsysteem maken waarin zowel octaven, kwinten als tertsen rein klinken, blijkt onmogelijk.
Het was een mooie droom.
De getallen 2, 3 en 5 zijn onderling ondeelbaar. Machten van 3 en machten van 5 komen nooit overeen met
machten van 2. Een stapeling van kwinten of tertsen komt dus nooit overeen met een geheel aantal octaven.
De muziekgeschiedenis kan je op verschillende manieren lezen. Een manier is het volgen van de muzikale en wiskundige zoektocht naar welluidendheid. Anders geformuleerd:
Hoe verdeel je een octaaf in de wetenschap dat terts, kwint en octaaf samen nooit rein kunnen zijn?