Elipse: Equações Paramétricas (dedução)
Para obtermos equações paramétricas para a Elipse , consideremos primeiro a seguinte construção auxiliar (altere o controle deslizante "ETAPA" para visualizar a construção):
- Construir uma elipse na forma , e chamamos o centro desta elipse de .
- Escolher um ponto sobre esta elipse.
- Construir circunferência de raio e centro .
- Construir ponto onde é a primeira coordenada de .
- Construir semireta que passa por e .
- Encontrar .
- Construir triângulo retângulo .
Chamemos de o ângulo interno do triângulo relativo ao vértice . Note que o cateto adjacente a tem medida , enquanto a hipotenusa do triângulo tem medida . Assim:
.
Ou ainda.
Substituindo na equação da elipse temos que . Portanto a Elipse pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas: Observe que o ângulo é o parâmetro das equações. Isto é, para cada valor de , obteremos diferentes pontos da Elipse. A construção abaixo ilustra esta forma de descrever a elipse (varie os valores de ).