6.2 Rectas en el Plano y en el Espacio
Todos están familiarizados con la ecuación de una recta en el plano cartesiano. Ahora se considerarán rectas en desde un punto de vista vectorial. La comprensión que se obtenga a partir de este planteamiento permitirá generalizar a rectas en y luego a planos en .Mucha del álgebra lineal que se considerará en capítulos posteriores tiene sus orígenes en la geometría simple de rectas y planos; la habilidad para visualizarlos y pensar geométricamente en torno a un problema le servirá bastante.
Rectas en el Plano y en el Espacio
En el plano cartesiano, la forma general de la ecuación de una recta es . Si , entonces la ecuación puede reescribirse como , que tiene la forma . Ésta es la forma pendiente-intercepto; m es la pendiente de la recta y el punto con coordenadas (0, k) es el corte con el eje y.
La ecuación va a ser importante en Algebra Lineal, porque el vector . es un vector perpendicular a la recta.
En las siguientes gráfica interactivas, se muestra una recta que pasa por el origen.El vector n es perpendicular a la recta; esto es, es ortogonal a cualquier vector de la recta, se le conoce como vector normal a la recta. La ecuación de esta recta se puede expresar en forma vectorial:
Otra forma de pensar esta recta es imaginar una partícula que se mueve a lo largo de la recta. Suponga que la partícula inicialmente está en el origen en el tiempo y se mueve a lo largo de la recta en tal forma que su coordenada x cambia a unidades por segundo. Entonces, en la partícula está en (a,b), en está en (1.5a,1.5b) y si se permiten valores negativos de t (esto es, considera dónde estuvo la partícula en el pasado), en está (o estuvo) en (-2a, -2b). Este movimiento se ilustra en la figura.
Otro Ejemplo
Considere la recta con ecuación , esta es justo la recta del ejemplo anterior desplazada 5 unidades arriba, su intercepto es el punto (0, 5). Es claro que los vectores d y n del ejemplo anterior son, respectivamente, un vector director y un vector normal también a esta recta.
Por ende, n es ortogonal a cada vector que sea paralelo a la recta. Si representa un punto general sobre la recta, entonces el vector es paralelo a la recta y . Al simplificar, se tiene , por tanto, la forma normal es una representación diferente de la forma general de la ecuación de la recta.
Ecuación Vectorial
Continuando con el ejemplo, ahora se encontrará la forma vectorial de la ecuación de la recta. Note que, para cada elección de , debe ser paralelo a, y por tanto múltiplo del vector director . Esto es ó para algún escalar t. En términos de componentes, se tiene:
La ecuación es la forma vectorial de la ecuación de la recta, y las ecuaciones en componentes se llaman ecuaciones paramétricas de la recta. La variable t se conoce como parámetro.¿Cómo se generaliza todo esto a ? Observe que las formas vectorial y paramétrica de las ecuaciones de una recta se trasladan perfectamente. La noción de la pendiente de una recta en , que es difícil de generalizar a tres dimensiones, se sustituye por la noción más conveniente de vector director