3. Probabilidad
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Música y Matemáticas.
Probabilidad
Observemos que mientras que todos los compases del trío tienen la misma probabilidad de aparecer en la partitura, no sucede igual con los compases del minueto. Al arrojar dos dados, la distribución de probabilidad de la puntuación, es decir, la serie de probabilidades de obtener cada suma, no es uniforme, pues sólo hay una forma de obtener suma 2 (1+1), mientras que existen 6 modos distintos de obtener suma 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 y 6+1).
La siguiente tabla nos muestra la probabilidad de cada puntuación al arrojar dos dados:
Esto significa que los compases que aparecen asociados a una de las sumas {5, 6, 7, 8, 9} aparecerán, de media, en 2 de cada 3 compases (cuantos más minuetos generemos, más nos acercaremos a esta media).
Contando posibilidades
Calculemos cuántos minuetos y tríos distintos podemos formar. Para agilizar el cálculo, obviaremos que alguno de los 176 compases que integran Musikalisches Würfelspiel se repite, a pesar de tener distinta numeración. Esto reduce un poco el resultado que obtendremos, pero no significativamente.
Para cada minueto, existen 11 elecciones posibles del primer compás. Por cada una de ellas, otras 11 para el segundo, y así sucesivamente. Habrá por tanto 1116 minuetos posibles, casi 46 mil billones, aunque no todos con la misma probabilidad, como hemos visto.
Tenemos, de igual manera, 616 tríos posibles, casi 3 billones, todos ellos equiprobables.
Conjuntamente, la obra minueto y trío alcanza 6616 posibilidades, un número de 30 cifras. Si cada habitante del planeta, unos 6 mil millones, interpreta una posibilidad distinta cada cinco minutos, hasta agotarlas todas, tardaríamos más de 200 billones de años (aunque es casi seguro que ni el sistema solar ni nuestra galaxia continuasen existiendo para entonces).
Ahora bien, no es lo mismo agotar todas las posibilidades que estimar qué número de interpretaciones se deben haber realizado para que sea más probable que improbable que se produzca alguna repetición. Es decir, estimar cuándo una partitura generada según las reglas del juego ya no es un estreno, sino una reposición. ¿Cómo estimar este número?
El problema del cumpleaños
Este problema, famoso por su poco intuitiva solución, tiene un enunciado muy similar al que acabamos de exponer. Pregunta cuál es el mínimo número de personas necesarias para que entre ellas sea más probable que improbable que haya dos con la misma onomástica (no se consideran los años bisiestos). La sorprendente respuesta es 23.
[Nota: Si usted no está familiarizado con este problema, debe prestar atención a que no se pretende la coincidencia de algún cumpleaños de las personas del grupo con otro concreto (el de usted, por ejemplo), sino de cualquiera de ellos con cualquier otro. La variante “¿cuántas personas como mínimo debe haber para que sea más probable que improbable que alguna tenga mi onomástica?” ofrece una solución mucho más abultada: 253 personas.]
Para alcanzar esa solución, denotemos por n el número de posibles cumpleaños, 365. Si hay x personas, cada una con n posibilidades, el número total de posibilidades es nx. Por otra parte, la primera persona puede tener cualquier cumpleaños. Para que no coincida la segunda, esta debe cumplir años en uno de los n - 1 días restantes. La tercera, en alguno de los n – 2 que quedan, y así sucesivamente. Por lo tanto, la probabilidad de que en x personas no coincida ningún cumpleaños es:
La probabilidad buscada, de que exista alguna coincidencia, será por tanto:
Con n = 365, basta una calculadora y un poco de paciencia para comprobar que para x = 22 esta probabilidad no alcanza 0.5, pero para x = 23 personas, ya la supera ligeramente. Sin embargo, en vez de la calculadora usaremos algo más potente como es el CAS de GeoGebra:
Conectando problemas
Veamos ahora por qué es casi imposible repetir una partitura ya interpretada. Para poder aplicar el método anterior al Juego de dados musical, primero tenemos que solventar la dificultad presentada por la falta de uniformidad de la distribución de probabilidad que rige la generación de los minuetos.
¿Cuál es la probabilidad de que un compás de un minueto coincida con el mismo compás en otro? Para que se produzca esta coincidencia, debe ser igual la puntuación obtenida con los dados en ambos casos. Para que esto suceda con dos puntuaciones “2”, se debe obtener puntuación 2 en uno (probabilidad 2/36) e, independientemente, en el otro (misma probabilidad). La probabilidad de que ambos sucesos ocurran a la vez será por tanto (2/36)2. De la misma forma, la probabilidad de que coincidan dos puntuaciones “3” será (3/36)2, y sucesivamente, hasta la coincidencia de dos puntuaciones “12” con probabilidad, igual a la primera, de (2/36)2. Sumando todas estas fracciones, obtenemos la probabilidad de coincidencia de dos compases en la misma posición: 1/9.
Para que coincida un minueto con otro, todos sus 16 compases deben coincidir uno por uno. Por lo tanto, la probabilidad de tal coincidencia es 1/916.
Por otra parte, la probabilidad de que coincidan dos tríos era 1/616. Conjuntamente, tenemos que la probabilidad de una repetición exacta de una obra concreta es 1/5416.
Ya podemos aplicar el mismo sistema usado en el problema del cumpleaños, sólo que ahora el año no tiene 365 días, sino 5416:
Desafortunadamente, la expresión anterior se muestra ahora intratable, dado lo elevado de los números implicados. Habrá que buscar alguna forma de simplificarla primero.
La fórmula de Stirling
Esta fórmula permite aproximar muy bien los grandes factoriales (cuanto más grandes, mejor es la aproximación, y en nuestro caso los factoriales son realmente grandes):
Aplicándola a nuestra probabilidad y reduciendo, obtenemos:
La ecuación correspondiente, igualando a 0.5, continúa resultando impracticable. Pero ahora tenemos exponenciales en vez de factoriales, lo que nos permite aplicar logaritmos y obtener por fin la ecuación:
Cuya solución aproximada es ahora 4.95 1016, un número de 17 cifras. Retomando el ejemplo del planeta, si cada terrícola genera e interpreta una obra cada cinco minutos, siguiendo las reglas de Mozart, es de esperar que al cabo de unos 78 años se produzca alguna repetición. Claro que si solo es un (infatigable) habitante el encargado de la tarea, deberíamos esperar que la coincidencia se produzca en un plazo seis mil millones de veces mayor.