A-a-b
Un cas particulier
La situation où l'on connaît un angle, son côté opposé et un autre côté est un peu plus difficile à gérer, car, contrairement aux quatre cas précédents, il peut y avoir deux solutions.
Ce n'est pas particulier à la sphère, puisque la même chose survient pour des triangles plans (rappelez-vous certains exercices de l'étape 1).
Dans l'appliquette ci-dessous, on peut faire varier la valeur de l'angle et la longueur des deux côtés et d'un triangle plan. On peut faire pivoter le point autour du point et l'on a tracé une droite formant un angle avec le côté . Cette droite est comme un viseur : il y aura au moins une solution si elle frappe le point (c'est-à-dire si arrive sur ). Amusez-vous à développer votre intuition en faisant varier les différents paramètres.
On remarque qu'il y a parfois deux solutions possibles, et que cela survient [assurez-vous de comprendre pourquoi] lorsque
Comme dans le plan, à une chose près...
Regardons maintenant si le même phénomène se produit sur la sphère. L'appliquette ci-dessous est une copie de celle en haut de la page, mais sur la sphère.
On remarque ici aussi qu'il y a parfois deux solutions possibles, et que cela semble survenir lorsque
Cliquez maintenant sur le bouton qui réglera les paramètres , et dans un cas où, même si , il n'y a qu'une solution.
Remarquez qu'une telle situation ne possède même pas de solution dans le plan, puisqu'on ne pourrait viser et atteindre le point [essayez-le dans la première appliquette pour comprendre ce qui se passe].
En fait, il y aurait deux solutions dans ce cas aussi si l'on permettait que la longueur des côtés du triangle sphérique soit supérieure à (ce que notre définition ne permet pas).
Les triangles plans et sphériques partagent la propriété (il me semble évidente, quoique...) que le côté le plus grand est opposé à l'angle le plus grand, et vice-versa. Le plus simple pour savoir, lorsque , s'il y a une ou deux solutions, revient à calculer (voir plus loin) les deux angles possibles et . Puis, puisque , il faut aussi que . On conserve des angles et celui (ou les deux) qui respecte cette condition.
La résolution du cas A-a-b
Puisque l'on a une paire côté-angle et un côté , la loi des sinus sphérique est toute appropriée :
Si , puisque l'on sait qu'il y a deux angles entre et qui possèdent le même sinus (la même hauteur), les deux solutions sont :
On conserve les solutions qui respectent .
On connaît à ce stade deux angles avec leur côté opposé. On peut écrire les lois des cosinus sphériques pour les côtés et pour les angles afin de caractériser le côté et l'angle :
Mais puisque l'on connaît, , , et , on se retrouve avec deux équations linéaires dont les deux inconnues sont et [eh oui, comme à la deuxième étape, mais en plus effrayant...].
Résolvons dans le cas général ces deux équations. On substitue le de la première équation dans la deuxième, ce qui nous conduit à :
On isole maintenant dans cette équation [je sais, c'est pénible...] :
d'où
On peut maintenant remplacer cette valeur dans la première équation :
Tout est accompli [même si on se sent sur le point d'en mourir]! Ce fut laborieux, mais il faut quand même avouer que ce sont toutes des opérations que vous connaissez...
Un exemple numérique ..... .... ... .. . | On peut mieux le voir à partir d'un exemple. Supposons que , , et que l'on a calculé que . Les deux équations précédentes s'écrivent dans ce cas comme ceci : Si l'on pose maintenant que et que , on se retrouve bien avec un système composé de deux équations linéaires à deux inconnues : |