E 093 Egy konferencia (utó)hatása
Előzmények
Egy komputer algebra és dinamikus geometria újdonságaival, és ezeknek a matematikaoktatásban betöltött (betöltendő) szerepével foglalkozó konferencia egyik plenáris előadásán hangzott el az alábbi feladat:
- Adott a síkban négy általános helyzetű egyenes. Adjunk meg (szerkesszünk?) olyan négyzetet, amelynek a csúcsai rendre az adott egyenesekre illeszkednek.
Pólya György tanácsai
Kezdjük Pólya György klasszikus kérdéseivel.
Nem találkoztál már a feladattal? Esetleg a mostanitól kissé eltérő formában? Meg tudnál fogalmazni egy ennél egyszerűbb rokon feladatot?
Egy rokon feladat:
- Adott a síkban három általános helyzetű egyenes. Szerkesszük meg azt a szabályos háromszöget, amelynek a csúcsai az adott egyenesekre illeszkednek.
- Adott a síkban az A pont, továbbá a b és c egyenes. Szerkesszük meg azt az ABC szabályos háromszöget, amelynek a B csúcsa a b egyenesre, C a c egyenesre illeszkedik.
Hova tovább?
Mielőtt rátérnénk az eredetileg felvett problémára, fogalmazzunk meg egy általánosabb kérdést:
- Legyen adott az A pont és egy adott e egyenesen mozgó B pont! Mi a C pontok mértani helye, ha e mozgás közben az ABCΔ szögei és irányítása sem változik?
Közelebb a célhoz...
Az eredeti feladatunkat szem előtt tartva, most oldjuk meg egy újabb (rész)feladatot:
- Legyen adott a síkon az A pont, a b és d egyenes! Szerkesszünk olyan ABCD négyzetet, amelyre B∈b és D∈d teljesül! Mi lesz az A ponttal szemközti C csúcs mértani helye, ha A egy adott a egyenesen mozog?
- Az ABCΔ pontjai rendre úgy mozognak a sík három, közös ponttal nem rendelkező a, b, c egyenesén, hogy eközben a háromszög hasonló marad önmagához. Mit írnak le ez alatt a síknak az A, B, C pontokkal együtt mozgó pontjai?
- Legyen adott négy általános helyzetű egyenes a, b, c és d, szerkesszünk (egy) olyan négyzetet amelynek a csúcsai rendre ezekre az egyenesekre illeszkednek! (Az általános helyzetű itt azt jelenti, hogy bármely kettő metsző. Megengedett, hogy három egy pontra illeszkedjen, de mind a négy nem.)
Hány megoldás van?
A fenti feladatban egy megoldást vizsgáltunk meg alaposan.
Azok az olvasóink, akik letöltik a fenti appletet, tapasztalni fogják, hogy tartalmaz egy saját eljárást, amelynek a bemenő adata a sík négy egyenese, eredménye egy négyzet, amelynek a csúcsai rendre illeszkednek az adott egyenesekre.
A kapott megoldást a bemenő adatok sorrendje határozza meg. Ez 4!=24 esetet jelentene, de a ciklikus permutációk természetesen ugyanazt a megoldást eredményezik. 4 elemnek 6 nem ciklikus permutációja van, így a szóba jöhető esetek száma mindössze 6 . Általános esetben ezek mindegyike elő is fordul, mint az alábbi appletből ez kiderül.
De vajon ne kapnánk újabb megoldást, ha minden forgatás irányát megváltoztatnánk? Figyeljük meg, hogy a fordított sorrendben beírt adatok ellenkező körüljárású négyzeteket adnak eredményül.
Így tehát - általános esetben - valóban van hat megoldás, de mindig van ennyi? Ennél kevesebb is lehet, ha az adott egyenesek között vannak párhuzamosok.
Vajon az is kevesebb megoldást jelent, ha pl. három egyenes egy pontban metszi egymást? Van olyan eset, amikor egy sincs? Vagy olyan, amikor végtelen sok ilyen négyzet van?
A kísérletezés örömét meghagyva, a fenti kérdések megválaszolását olvasóinkra bízzuk.