Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom
GeoGebra

E 093 Egy konferencia (utó)hatása

Autor:Szilassi Lajos

Előzmények

Egy komputer algebra és dinamikus geometria újdonságaival, és ezeknek a matematikaoktatásban betöltött (betöltendő) szerepével foglalkozó konferencia egyik plenáris előadásán hangzott el az alábbi feladat:
  • Adott a síkban négy általános helyzetű egyenes. Adjunk meg (szerkesszünk?) olyan négyzetet, amelynek a csúcsai rendre az adott egyenesekre illeszkednek.
Az előadó szerint ez egy igen nehéz feladat, nincs is elemi megoldása. Azért ne adjuk fel a szép elemi megoldás lehetőségét.

Pólya György tanácsai

Kezdjük Pólya György klasszikus kérdéseivel. Nem találkoztál már a feladattal? Esetleg a mostanitól kissé eltérő formában? Meg tudnál fogalmazni egy ennél egyszerűbb rokon feladatot? Egy rokon feladat:
  • Adott a síkban három általános helyzetű egyenes. Szerkesszük meg azt a szabályos háromszöget, amelynek a csúcsai az adott egyenesekre illeszkednek.
Sőt egy még egyszerűbb:
  • Adott a síkban az A pont, továbbá a b és c egyenes. Szerkesszük meg azt az ABC szabályos háromszöget, amelynek a B csúcsa a b egyenesre, C a c egyenesre illeszkedik.
Tegyünk egy kísérletet az egyik feltétel átfogalmazására: Az a feltétel, hogy az ABCΔ szabályos, így is megfogalmazható: a B pontnak az A körüli 60°-os elforgatottja C. Így a keresett C pontnak nem csak a c egyenesre, hanem B-nek az A körüli 60°-os elforgatottjára is illeszkednie kell: ... C=Metszéspont(Forgatás(b,60°,A),c) Mivel a b egyenes két különböző irányba is elforgatható, ezért a feladatnak általános esetben két megoldása van. Olvasóinkra bízzuk e feladatnak a GeoGebra eszköztárával bemutatott megoldását, szemléltetését, valamint a teljes diszkusszióját.

Hova tovább?

Mielőtt rátérnénk az eredetileg felvett problémára, fogalmazzunk meg egy általánosabb kérdést:
  • Legyen adott az A pont és egy adott e egyenesen mozgó B pont! Mi a C pontok mértani helye, ha e mozgás közben az ABCΔ szögei és irányítása sem változik?
Az alábbi applettel viszonylag egyszerűen megmutatható a sejtés, miszerint a keresett mértani hely egy egyenes lesz. Bekapcsolva a szerkesztés jelölőnégyzetet be tudjuk állítani azt a A0B0C0Δ-et, amelynek - azonos körüljárású - hasonló példányaiként kapjuk meg az ABCΔ-et, miközben B az e egyenesen mozog. Az A és B pont, valamint az ABCΔ szögeinek és az oldalak arányának az ismeretében keresett C pontot megkaphatjuk a B pont A centrumú forgatva nyújtásával , de az A pontból B centrumú forgatva nyújtásként is. Bár a GeoGebra mindkét esetben fel tudja rajzolni a C pont mértani helyét, ez a rajz nem alkalmas arra, hogy a kapott vonalat további szerkesztésben felhasználjuk. A MértanhelyEgyenlete() parancs viszont nem működik, a forgatva nyújtás ehhez túl bonyolult transzformáció. De a keresett m mértani helyet - mint egyenest - az e egyenes A centrumú α=B0A0C0∢ szögű forgatással és ugyancsak A centrumú és nA=A0B0/A0C0 arányú centrális nyújtással is megkaphatjuk a B és C pontok közötti mértani helyes kapcsolat kihasználása nélkül. Annak az igazolásához, hogy a C pontok mértani helye egyenes, elegendő arra hivatkoznunk, hogy a közös centrumú forgatás és a nyújtás is egyenestartó, illeszkedéstartó, irányítástartó transzformáció. Így a szorzatuk is az. Mivel egy forgatást előjeles szöggel adhatunk meg egyértelműen, jelen esetben az említett két forgatva nyújtáshoz A háromszög AB oldalán fekvő két szögének ellentétes előjelűnek kell lennie.

Közelebb a célhoz...

Az eredeti feladatunkat szem előtt tartva, most oldjuk meg egy újabb (rész)feladatot:
  • Legyen adott a síkon az A pont, a b és d egyenes! Szerkesszünk olyan ABCD négyzetet, amelyre B∈b és D∈d teljesül! Mi lesz az A ponttal szemközti C csúcs mértani helye, ha A egy adott a egyenesen mozog?
Az előzőeket kihasználva megszerkeszthetjük a keresett mértani helyet. A Mértanihely() parancs alkalmazása azonban elkerülhető: elegendő az a egyenes két különböző pontjára alkalmazni a négyzet szerkesztést. Ezzel persze csak egy erős sejtést kapunk: a C pontok mértani helye ebben az esetben is egyenes lesz. Ennek az igazolását a a szép elemi feladatokra vadászó problémaérzékeny olvasóinknak ajánljuk a figyelmébe. Szellemi csemegéink között az ezt megelőző anyag foglalkozik ennek a kérdésnek a még általánosabb megfogalmazásával és bizonyításával.
  • Az ABCΔ pontjai rendre úgy mozognak a sík három, közös ponttal nem rendelkező a, b, c egyenesén, hogy eközben a háromszög hasonló marad önmagához.  Mit írnak le ez alatt a síknak az A, B, C pontokkal együtt mozgó pontjai?
Így eljutottunk az eredeti problémánkhoz:
  • Legyen adott négy általános helyzetű egyenes a, b, c és d, szerkesszünk (egy) olyan négyzetet amelynek a csúcsai rendre ezekre az egyenesekre illeszkednek! (Az általános helyzetű itt azt jelenti, hogy bármely kettő metsző. Megengedett, hogy három egy pontra illeszkedjen, de mind a négy nem.)

Hány megoldás van?

A fenti feladatban egy megoldást vizsgáltunk meg alaposan. Azok az olvasóink, akik letöltik a fenti appletet, tapasztalni fogják, hogy tartalmaz egy saját eljárást, amelynek a bemenő adata a sík négy egyenese, eredménye egy négyzet, amelynek a csúcsai rendre illeszkednek az adott egyenesekre. A kapott megoldást a bemenő adatok sorrendje határozza meg. Ez 4!=24 esetet jelentene, de a ciklikus permutációk természetesen ugyanazt a megoldást eredményezik. 4 elemnek 6 nem ciklikus permutációja van, így a szóba jöhető esetek száma mindössze 6 . Általános esetben ezek mindegyike elő is fordul, mint az alábbi appletből ez kiderül. De vajon ne kapnánk újabb megoldást, ha minden forgatás irányát megváltoztatnánk? Figyeljük meg, hogy a fordított sorrendben beírt adatok ellenkező körüljárású négyzeteket adnak eredményül. Így tehát - általános esetben - valóban van hat megoldás, de mindig van ennyi? Ennél kevesebb is lehet, ha az adott egyenesek között vannak párhuzamosok. Vajon az is kevesebb megoldást jelent, ha pl. három egyenes egy pontban metszi egymást? Van olyan eset, amikor egy sincs? Vagy olyan, amikor végtelen sok ilyen négyzet van? A kísérletezés örömét meghagyva, a fenti kérdések megválaszolását olvasóinkra bízzuk.

Neue Materialien

Entdecke Materialien

Entdecke weitere Themen