1. Einführung
Die Differentialrechnung verwendet man aus mathematischer Sicht dazu, Steigungen von Funktionsgraphen zu berechnen. Wenn man Aufgaben mit Anwendungsbezügen hat - also Textaufgaben - dann braucht man die Differentialrechnung immer dann, wenn Änderungen oder Änderungsraten von Funktionswerten berechnet werden sollen. Also "wie schnell ändert sich eine Temperatur" oder "wie schnell steigt oder fällt die Anzahl einer Bevölkerung" usw. .
Bevor wir richtig in die Differentialrechnung einsteigen, zuerst eine kleine Erinnerung an die Steigung bei den linearen Funktionen:
Die Steigung von lineare Funktionen
Die Funktionsgleichungen von linearen Funktionen haben die Form mit der Steigung .
Die Steigung zu berechnen ist hier ganz einfach, weil sie über all am Funktionsgraphen gleich ist. Man braucht nur zwei Punkte, z.B. und und dann kann man die Steigung mit dem sogenannten Differenzenquotienten berechnen:
Dabei ist die Reihenfolge der Punkte nicht wichtig für das Ergebnis.
Oft wird zwischen den beiden Punkte und auch ein Steigungsdreieck gezeichnet. Dann ist die Steigung gleich Höhe des Steigungsdreiecks geteilt durch die Breite , also:
Hier muss man dann nur noch auf das Vorzeichen achten. Die Steigung von in -Richtung fallenden Funktionsgraphen ist negativ.
Wenn man sich so ein Steigungsdreieck zecihnet oder auch nur vorstellt, dann gelingt es oft schon ganz gut, Steigungen auf einem Bild zu schätzen. Das kann man mit dem folgenden Arbeitsblatt ausprobieren und üben:
Schätze die Steigung der linearen Funktion
Drücke die Taste F9 um eine neue Gerade zu erstellen und schätze die Steigung.
Zur Kontrolle kann unter "Steigung anzeigen" das Kontrollkästchen angeklickt werden.