2. Acht-Punkte-Modell mit zwei Freiheitsgraden auf der Oberfläche einer Kugel. Erweiterte Version
Aufgabe: Suche nach einem Algorithmus, um die gleichmäßige Verteilung der Punkte zu finden.
Suchmethode: kritische Punkte "bestimmter" funktioneller Abhängigkeiten finden und "anhand einfacher Modelle" verstehen, zu welchen teilchenverteilungen dies führt.
Als Beispiel wird ein Modell von acht Punkten auf der Oberfläche einer Kugel mit zwei Freiheitsgraden betrachtet. 8 Punkte bilden zwei parallele Quadrate. Die kann relativ zueinander drehen:
der Winkel →α x-Parameter,
der Abstand zwischen ihnen kann sich ändern:
der Neigungswinkel →θ y-Parameter.
Für bestimmte Parameterwerte können bekannte Körper erhalten werden.
Als "einige " funktionale Abhängigkeiten wählen wir die folgenden Eigenschaften der geometrischen Körpern:
Gesamtabstand (Distance Sum). Die Summe der gegenseitigen Abstände aller Punktpaare auf der Kugeloberfläche.
Gesamtfläche. Die Fläche der gesamten Oberfläche des gebildeten Polyeders.
Gesamtvolumen. Körpervolumen.
Die Aufgabe besteht darin,
-ermitteln die Abhängigkeiten dieser Eigenschaften von den Parametern α und θ,
-herauszufinden, welche Körpern entsprechen kritischen Punkten der folgenden Oberflächen: Gesamtabstand(α, θ), Gesamtfläche(α, θ), Volumen(α, θ).
Fazit:
● In den Fällen Gesamtabstand(α, θ) und Gesamtfläche(α, θ) haben die beide Funktionsflächen (im Bereich ihrer Definition) einen Sattelpunkt, der demselben Körper entspricht - dem Würfel (ein platonischer Körper).
● Alle drei Funktionsflächen haben kritische Punkte -lokaler Maxima. Die ihnen entsprechenden Strukturen sind sehr ähnlich einem quadratischen Antiprisma: (auch als Anticube bekannt).
2D Isolinien in 3 Fällen für Oberflächen: 1. "Gesamtabstand", 2. "Gesamtfläche", 3. "Gesạmtvolumen".
