Gruppe der Möbius-Transformationen
Diese Seite ist Teil des GeoGebrabooks Moebiusebene (29.09.2020)
Die reelle ebene Möbiusgeometrie handelt von Punkten, Kreisen und Geraden, von Schnittpunkten, von Winkeln zwischen Kreisen und der Lage von Punkten zu Kreisen. Vieles davon kennt man aus der ebenen euklidischen Geometrie und kann mit den Hilfsmittel von ge
gebra einfach und erhellend erkundet werden.
Mit der Spiegelung an Kreisen 
verläßt man klickartig die euklidische Welt und landet in der Kreisgeometrie.
Als erstes muss man sich von den gewohnten Geraden verabschieden: aus Geraden werden allermeist nach
einer Inversion an einem Kreis - Kreise!
Auch fällt auf, dass eine Kreisspiegelung fast bijektiv ist: nur der Kreismittelpunkt findet kein Bild und kein Urbild!
Kreise schneiden sich, wenn sie es tun, meist in 2 Punkten, Geraden aber nur in höchstens einem.
Alle diese Lücken lassen sich ganz einfach schließen: ein einziger zusätzlicher Punkt erweist sich
als Schnittpunkt aller Geraden, sogar die zuvor parallelen Geraden gehen durch diesen Punkt;
und Kreisspiegelungen vertauschen den Kreismittelpunkt mit diesem Punkt .
Aber! Abstände zwischen Punkten gibt es nun nicht mehr.
Dafür kann man weiterhin Winkel zwischen Kreisen - zu denen nun die ehemals Geraden gehören - messen!
Am ehesten klären sich die Verhältnisse, wenn man die Ebene stereographisch auf die Kugel projiziert:
Auf der Kugel gibt es keine Geraden, nur Kreise - als Schnitte mit Ebenen: siehe Möbiustransformationen auf der Kugel.
Was sind die Transformationen dieser Geometrie?
Die ebenen euklidischen Abbildungen gehören weiterhin dazu.
Hinzu kommen die Streckungen von einem Punkt aus ("äquiforme Geometrie"!)
und die Kreisspiegelungen.Eine Antwort sind die gebrochen linearen Abbildungen der um erweiterten GAUSSschen Zahlenebene .
- mit und ; die gleichsinnige Möbiustransformation ist bis auf gemeinsame komplexe Vielfache von eindeutig festgelegt.
- Löst man die Gleichung mit geogebra-CAS nach auf,
so erhält man die Möbiustransformation mit den ziemlich symmetrisch aufgebauten Koeffizienten
- Dazu löse man die Gleichung ; zu lösen ist eine komplexe quadratische Gleichung.
- elliptisch: Drehung um die 2 Fixpunkte
- hyperbolisch: Streckung von dem einen Fixpunkt zum anderen
- logarithmisch - loxodromisch: Drehstreckung um die beiden Fixpunkte
- parabolisch: Verschiebung längs der Kreise eines parabolischen Kreisbüschels. Der Berührpunkt ist der einzige Fixpunkt.