6-Ecknetz aus Loxodromen und Kreisen
Die Drehstreckungen um 2 Pole sind kommutativ. Daher bilden die Loxodrome, die das hyperbolische Kreisbüschel durch die beiden Pole je unter einem festem Winkel schneiden, untereinander ein Sechseckgewebe wie 3 verschiedene Parallelenscharen.
Erhöht man die Anzahl der Lagen, kann es zu Überschneidungen der Kurven kommen.
Wählt man einen der Pole als , so erhält man logarithmische Spiralen.
Dieses Arbeitsblatt ist Teil des GeoGebra-books Sechsecknetze.
Nachtrag (Jan. 2019) : Sucht man nach der mathematischen Beschreibung von Loxodromen, so findet man zB. in wikipedia als Definition: (Zitat)
Eine Loxodrome (gr. loxos „schief“, dromos „Lauf“) ist eine Kurve auf einer Kugeloberfläche – z. B. der Erdoberfläche –, die die Meridiane im geographischen Koordinatensystem immer unter dem gleichen Winkel schneidet und daher auch Kursgleiche, Winkelgleiche oder Kurve konstanten Kurses genannt wird.
Möbiusgeometrisch sind Meridiane die Kreise durch den Nord- und den Südpol der Erdkugel, also Kreise durch zwei diametrale Kugelpunkte - das sind die Kreise eines hyperbolischen Kreisbüschels. Nur in der sphärischen Kugelgeometrie liegen die Grundpunkte eines hyperbolischen Kreisbüschel diametral.
Nun gibt es zu jedem beliebigen hyperbolischen Kreisbüschel durch 2 Grundpunkte die Kurven, welche die Kreise unter konstantem Winkel schneiden, sie winden sich - siehe oben - logarithmisch spiralig um die Grundpunkte. Wählt man einen der Gundpunkte als Null-Punkt und den anderen als , so erhält man durch stereographische Projektion logarithmische Spiralen.
Diese Kurven sind möbiusgeometrisch W-Kurven: sie entstehen als Bilder einer einparametrischen Untergruppe der Möbiusgruppe. Logarithmiche Spiralen lassen sich durch mit erzeugen.
Wie soll man diese Kurven nennen? Wir erlauben uns, sie unter möbiusgeometrischen Gesichtspunkten ebenfalls Loxodrome zu nennen.