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Volumen y superficie del cilindro y el cono

Autor:Javier Cayetano Rodríguez
¿Sabías que las fórmulas para el volumen y la superficie del cilindro y el cono se pueden obtener a partir del prisma y la pirámide? En esta actividad veremos cómo. Si te fijas, procederemos de una forma que será muy habitual en matemáticas:
  • ir deduciendo fórmulas para elementos más sencillos e irlas utilizando para conseguir los de mayor complejidad.
  • por eso, aquí comenzamos con
    • el polígono regular, que luego utilizamos para el círculo
    • a su vez, el círculo para deducir la del cilindro
    • y la del cono, utilizando también la fórmula para la pirámide (ver aquí cómo se deduce).
  • incluso, más adelante, podremos usar estas fórmulas para deducir las de la esfera (en esta actividad).
También, te recomendamos practicar los cálculos con situaciones reales y ejercicios en los que intervienen estas fórmulas. Para ello, puedes visitar esta actividad,

Instrucciones

  • En las opciones de la derecha, elige la fórmula que te interese.
  • Pulsa en cada paso para ver la descripción.
  • Podemos modificar el número de lados para ver cómo, con "muchos lados", el cuerpo es "casi" un cuerpo redondo.
Recuerda que podemos orientar la vista 3D arrastrando con el botón derecho del ratón.

Nuestro turno

Utilizando el applet, hemos visto cómo calcular tanto el volumen del cilindro como el del cono, así como su superficie. Para ello, hemos comparado con prismas y pirámides de base un polígono regular. Pero...
  • ¿hasta qué punto nos valen estas aproximaciones?
  • ¿será verdad que tres conos llenan exactamente un cilindro?
Es el momento de comprobarlo "empíricamente" (de forma práctica). Lo haremos trabajando en grupos de 3-4 personas. PASO 1 Cada grupo creará:
  1. un prisma de base un polígono regular (por ejemplo 5 o 6 lados) y la altura que queramos
  2. con esa misma base y altura, una pirámide.
  3. un cilindro cuya base tenga el mismo diámetro que las bases anteriores, y la misma altura que habíamos elegido.
  4. Un cono con la misma base y altura que el cilindro.
Para crear las plantillas recortables, podemos utilizar cualquier web. Por ejemplo, ✂Templatemaker es muy cómoda porque permite elegir el tamaño de los diámetros. (*) También se podría capturar la pantalla del applet (arrastrando previamente la vista gráfica con el botón derecho, para una visión cenital), pero perderíamos la posibilidad de establecer las dimensiones exactas. ¡Importante! dejaremos las tapas de la base sin pegar, para poder llenar y vaciar nuestras figuras. PASO 2 Utilizaremos arroz, arena, bolitas de papel o similar para rellenar las figuras. Bastará comprobar si, efectivamente, necesitamos las mismas cantidades para llenar unos u otros. Comprobar también que vertiendo tres veces el contenido del cono en el cilindro, lo rellenamos completamente. Además, haremos las comprobaciones utilizando las fórmulas (las medidas las tenemos, porque las hemos elegido nosotros para crear el modelo). Ten en cuenta que como nuestro polígono no tiene muchos lados, habrá cierta diferencia entre cilindro y prisma, y entre cono y pirámide. PASO 3 Cada grupo anotará los resultados obtenidos en las diferentes mediciones y documentará el proceso mediante algunas fotografías de las construcciones. Además, anotaremos las mediciones de los correspondientes errores absolutos y relativos (si no conoces lo que son, puedes consultarlo en esta actividad. ¡Es sencillo!). Todos estos documentos se entregarán al profesor/a como parte de la evaluación grupal.

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