Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

Teorema de Pitágoras 2

ROTEIRO DA DEMONSTRAÇÃO

Consideração inicial: este roteiro constitui-se um guia de orientação aos professores. Hipótese: triângulo retângulo de lados a, b e c, sendo sua hipotenusa de valor a, e seus catetos de valor b e c. é a medida do ângulo compreendido pelos lados a e b e é a medida do ângulo compreendido pelos lados a e c. 01- Construir o quadrado de lado b+c a partir de 4 triângulos equivalentes, conforme esboço gráfico. 02- Observar o losango de lado a interno ao quadrado de lado b+c. 03- A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°. Isso implica no argumento de ângulo: = 90°. 04- Marque a opção "Mostrar ângulos". O argumento de ângulo no item anterior implica que, em cada vértice do losango, o ângulo interno é de 90°. 05- Conclusão: o losango de lado a possui os 4 ângulos internos congruentes (de medida 90°), portanto, trata-se de uma quadrado de lado a. Desmarque a opção "Mostrar ângulos". 06- O quadrado de lado a tem área igual a . Marque a opção "Mostrar texto a²". 07- A região amarelada, interna ao quadrado de lado b+c, tem área igual a . 08- Argumento de área: realiza-se um movimento rígido em um triângulo retângulo interno de modo que não há sobreposição de regiões e este continua no interior do quadrado de lado b+c; a região amarelada continua tendo área igual a . 09- Utilizar um dos pontos amarelos para mover apenas um dos triângulos retângulos internos (ao quadrado de lado b+c) . Chame-o de triângulo T1. Observar, segundo o argumento de área, que a região amarelada continua tendo área igual a . 10- Mova T1 de modo que sua hipotenusa coincida com a hipotenusa do triângulo que lhe é correspondente. Argumento de área: a região amarelada continua tendo área igual a . 11- Chame o triângulo que não foi movido de T2. Utilize o ponto amarelo correspondente para movê-lo, sem sobreposição de regiões. Argumento de área: a região amarelada continua tendo área igual a . 12- De forma similar a T1, mova T2 de modo que sua hipotenusa coincida com a hipotenusa do triângulo que lhe é correspondente. Observar que, durante este movimento, há sobreposição de regiões. Portanto, a região amarelada deixar de ter área igual a . Entretanto, encerrado o movimento, com a hipotenusa de T2 coincidente com a hipotenusa do triângulo que lhe é correspondente, observe que não há sobreposição de regiões. 13- Argumento de área: a região amarelada continua tendo área igual a . Desmarque a opção "Mostrar texto a²". 14- Marque a opção "Mostrar quadrados b² e c²". Observe que a região amarelada é perfeitamente preenchida por dois quadrados, um de lado b e outro de lado c, cujas áreas são respectivamente e . Portanto, esta região tem área igual a b² + c². 15- Desmarque a opção "Mostrar quadrados b² e c²". Observe que a região ocupada pelos quadrados de lados b e c é a mesma região amarelada, cuja área é . 16- Por equivalência de áreas, a² = b² + c². O resultado está demonstrado. Encerra-se o roteiro de demonstração ao Teorema de Pitágoras.

Figura 1. O losango de lado a é, de fato, um quadrado.

Figura 1. O losango de lado a é, de fato, um quadrado.

Figura 2. Por equivalência de área, a² = b² + c².

Figura 2. Por equivalência de área, a² = b² + c².

Uma demonstração algébrica

Utilize a Figura 1 para dar uma demonstração algébrica ao Teorema de Pitágoras. Dica: usar produtos notáveis.