1108 Egy lemma
A lemma:
A matematikában lemmának nevezzük az olyan kisebb összefüggéseket, feladatokat (tételeket) amelyet egy másik probléma megoldása során szeretnénk felhasználni. Erre a feladatra - amely önmagában is szép (euklideszi) elemi geometria probléma - később (lemmaként) fogunk hivatkozni.
A feladat:
Legyen A, B, C, D egy egyenes négy pontja, továbbá legyen M a CD szakasz felező merőlegesén mozgó pont! Legyen C' a C pontnak az (AM) egyenesre, D' a D pontnak a (BM) egyenesre vonatkozó tükörképe!
Mit állíthatunk a (C’D’) egyenesről? Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést a P-modellen is!
Megoldás:
Anélkül, hogy részleteznénk a feladat megoldását, remélhetően elegendő egy másik elemi geometriai összefüggésre (lemmára) hivatkoznunk.
- Az euklideszi geometriában a körhöz külső pontból húzott szelők szelődarabjainak a szorzata bármely szelőre nézve ugyanannyi.
A feladat az euklideszi geometriában
A feladat kérdésére tehát azt válaszolhatjuk, hogy az a (C'D') egyenesek mértani helye egy P tartójú sugársor, amelyet az A és B pont határoz meg. (Ha A és B szimmetrikus t-re, akkor egy e irányú párhuzamos sugársort kapunk.)
Felvetődhet azonban a kérdés, hogy miként függ a P pont A és B megválasztásától? Ehhez nyilvánvalóan a koordináta geometria eszköztárához kell nyúlnunk. (Erre kényszerültünk volna akkor is, ha kör szelődarabjainak a szorzatára vonatkozó tétel nincs az eszköztárunkban, nem alkalmazható, vagy nem jut eszünkbe.)
Koordinátageometriai megoldás
A feladatban szereplő pontok koordinátáit praktikusan megadva viszonylag egyszerű - akár "kézzel" is megoldható, bár kicsit hosszadalmas - számolást kellene elvégeznünk. Azonban a GeoGebra CAS rendszere le tudja venni a vállunkról ezt a terhet.
Mivel ez a munka nem igényel olvasóinktól semmilyen aktivitást, itt csak a számolás menetét, és eredményét mutatjuk be. Úgy véljük, az alábbi táblázat elemzése nem igényel különösebb magyarázatot.
Megjegyezzük azonban, hogy a rendszer - egyelőre - nem tudja végrehajtani paraméteres alakban megadott objektumokkal a Tükrözés(Pont,Egyenes) parancsot. Ezért pl. a C' pont koordinátáit három lépésben kaptuk meg: merőlegest állítottunk C-ből az eA egyenesre, megkerestük a CC' szakasz TA
felezőpontját, majd ebből számoltuk ki C' koordinátáit. (7. , 8. és 9. lépés.) Ugyanígy kaptuk meg D' koordinátáit is..
Amint látjuk, a 16. lépésben megkaptuk a P pont koordinátáit, amely csak az a és b paramétereket tartalmazza, m-et nem. Ezt kellett igazolnunk.
Mintegy "melléktermékként" választ kaptunk arra a kérdésre is, hogy miként függ A és B megválasztásától a P pont.
Megjegyezzük, hogy ugyanez az eredmény kiszámítható egy egyszerű aránypárral is az alapján, hogy a P pont az A középpontú C kerületi pontú és a B középpontú, D kerületi pontú körnek az egyik hasonlósági pontja.
A feladat a P modellen:
A feladatban kitűzött szerkesztés az abszolút geometria eszköztárával könnyen megvalósítható. Az eredményét itt csak sejtésként fogalmazzuk meg. Megjegyezzük azonban, hogy -mint már több helyen láttunk rá példát - az így kapott eredmények többnyire abszolút geometriai összefüggések.
Miért lemma?
Az M pontot mozgatva C' egy A középpontú, C kerületi pontú körön mozog. Ugyanígy D' illeszkedik a B középpontú D kerületi pontú körre.
Az euklideszi esetet vizsgálva könnyen belátható, hogy ha az (AC') egyenes merőleges (C'D')-re, akkor (BD') is merőleges (C'D')-re. vagyis a sugársor elemei között ott van e két kör közös érintője is. Megmutatható, hogy ez a P-modellen is így van. Ezt itt fogjuk majd kihasználni.