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Integrales iteradas con dominio triangular

Autor:GIE MAMI UPM
El teorema de Fubini permite calcular la integral doble de una función continua de dos variables sobre un rectángulo mediante dos integrales sucesivas sobre un intervalo, no importando el orden de integración, lo que se suele llamar como integrales iteradas. Aún cuando el dominio no es rectangular, una integral doble se puede calcular mediante integración iterada, aunque en este caso los límites de las integrales interiores no tienen por qué ser constantes. Vamos a ver un ejemplo donde el dominio es triangular. Consideremos un dominio formado por un triángulo, , de vértices , y . Los lados del triángulo se escriben en términos de las variables e (variables de integración) como:
  • Segmento , corresponde a (constante) y .
  • Segmento , corresponde a (constante) y .
  • Segmento , está en la recta , para valores de con (si queremos escribir en función de ) o si la queremos escribir en términos de , con valores de con .
    Para calcular la integral de una función sobre el triángulo , se puede barrer el triángulo mediante segmentos horizontales de longitud variable. La longitud de cada segmento, depende de la altura a la que se encuentre. Por la elección de triángulo que hemos hecho, cada segmento horizontal a altura se apoya en el segmento (límite inferior) y en segmento (límite superior). En términos de las variables, se tiene (constante) y varía entre y (la función se obtiene despejando de la recta que contiene al segmento . El triángulo se barre complentamente variando la altura de a . Es decir . La integral interior, cuando , es el área con signo bajo la curva al variar entre y . De manera similar, se puede barrer el triángulo con segmentos verticales de longitud variable. Estos segmentos se apoyan inferiormente en el lado del triángulo y superiormente en el lado . En términos de las variables de integración en este caso (constante) y la variable está entre y , donde la función se encuentra despejando la variable en la ecuación de la recta que contiene al segmento . Para barrer el triángulo completamente la tiene que variar entre y . En esta situación la integral doble se escribe . En este caso, la integral interior es el área con signo bajo la curva , al variar entre y . Obsérvese que tanto en un caso como en el otro la integral exterior es la que tiene los límites de integración constantes y los límites de la integral interior depende de la variable que no es la variable de integración de esa integral.

    Instrucciones:

    Arriba a la derecha se ve el triángulo, que es el dominio de integración. Abajo en azul está la gráfica de definida en ese dominio. Arriba a la izquierda, al marcar la casilla "Integración primero con respecto a x" aparece en el valor de indicado por el deslizador verde, a la derecha se ve sobre el triángulo el segmento horizontal rojo a esa altura y en la parte de abajo de la construcción se aprecia la gráfica de la función (con constante y entre y ). La zona coloreada en rojo que aparece bajo la gráfica de representa la integral interior y el plano azul es el plano . Al variar con el deslizador va variando la zona coloreada y su integral. De forma análoga, al marcar la casilla "Integración primero con respecto a y" aparece en el valor de indicado por el deslizador rojo, a la derecha el segmento vertical en del dominio, y abajo la gráfica de la función (con constante e entre y ). La zona coloreada en verde bajo la gráfica de representa la integral interior y el plano azul es ahora el plano . Al variar con el deslizador va variando la zona coloreada y su integral. La función , y los valores de , , y se pueden introducir en las casillas de entrada.

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