Planimètre polaire
Le planimètre polaire est composé de deux bras articulés. Une extrémité O est fixe. L'autre extrémité S peut être déplacée librement. Une roulette graduée, d'axe le deuxième bras frotte sur le papier. Elle somme donc les déplacements perpendiculaires du bras.
En écrivant la forme différentielle associée au mouvement de cette roulette, on trouve la formule du bas. La formule du haut est la version cartésienne de la 1-forme différentielle -ydx+xdy dont la différentielles est la 2-forme d'aire dx dy: en intégrant cette 1-forme le long d'un lacet fermé, on obtient l'aire de la région bordée par ce lacet, c'est le théorème de Green-Riemann.
Bougez le point S lentement le long du cercle unité pour voir que l'intégration numérique de la 1-forme donne une approximation de l'aire du disque. Remarquez que la formule effective est celle du bas, qui, numériquement, est plus instable que la forme -ydx+xdy qui lui est théoriquement équivalente.