Plano Tangente (funções escalares de várias variáveis reais)

Observe que as funções abaixo são compostas por um polinomio em e a função . Tendo em vista que a função é diferenciavel em todos os pontos com exceção da origem, por nesse ponto a reta tangente ao gráfico torna-se vertical. Podemos nos questionar, Será que acontecerá o mesmo fenomeno já ocorrido nessas funções? O que acontece com duas derivadas parciais perto da origem? E o que acontecerá com o plano tangente?

Seja e . Seja a curva gerada pela interseção da função com o plano e a curva gerada pela interseção da função com o plano . A inclinação das retas tangentes as curvas e no ponto , são as derivadas parciais da função com respeito as variáveis e ,respectivamente, no ponto (em caso de dúvida, procure a sessão Derivadas parciais). Lembremos que, caso tenhamos uma reta vertical, não podemos definir sua inclinação, pois esta é baseada na tangente do ângulo, que seria 90° graus! No caso da função , para um ponto , temos que curva e a curva são e . Note que as curvas e não apresentam reta tangente no ponto , pois tomando teremos que e . Como não apresenta as retas tangentes no ponto, pelo conceito apresentado, não temos derivadas parciais no ponto e, consequentemente, a função não é diferenciável em .

Então, a curva apresenta reta tangente vertical quando e a curva é um ponto, tendo sua reta tangente inclinação 0. Com isso, a função não apresenta a derivada parcial com respeito a variável em . Podemos concluir então, sem dificuldades, que a função também não será diferenciável no ponto, por mais que exista derivadas parciais em com relação a variável . Observe que os pontos escolhidos são pontos contidos na interseção do gráfico de com o plano , ou seja, no equador da semi-esfera. Utilize as retas tangentes presentes no applet e observe o que ocorre em outros pontos presentes no equador.

Então, a curva apresenta reta tangente vertical quando e a curva é um ponto, tendo sua reta tangente inclinação 0. Com isso, a função não apresenta a derivada parcial com respeito a variável em . Podemos concluir então, sem dificuldades, que a função também não será diferenciável no ponto, por mais que exista derivadas parciais em com relação a variável . Observe que os pontos escolhidos são pontos contidos na interseção do gráfico de com o plano , ou seja, no equador da semi-elipsóide. Utilize as retas tangentes presentes no applet e observe o que ocorre em outros pontos presentes no equador.