directric circles
 | this activity is a page of geogebra-book elliptic functions & bicircular quartics & . . .(27.04.2023) |
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2-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise,
auf der "Hauptachse" liegen die 4 Brennpunkte. Das Koordinatensystem kann möbiusgeometrisch stets so gewählt werden,
dass die -Achse Hauptachse ist und die -Achse, der Einheitskreis und der dazu orthogonale imaginäre Kreis
die weiteren Symmetrie-Kreise sind: wir nennen diese Darstellung die Normalform der bizirkularen Quartik.
mit sind dann die Brennpunkte.
Zu jeder Symmetrie gehört eine Schar doppelt berührender Kreise.
Die Konstruktion mittels der Leitkreise ist jedoch nur für die von der von der Hauptachsen-Symmetrie
verschiedenen Symmetrien möglich:
Spiegelt man einen der Brennpunkte - im Applet wird f ausgezeichnet - an den Kreisen einer dieser Scharen, so liegen die
Spiegelpunkte auf einem Kreis: dem zugehörigen Leitkreis. Zu jedem Punkt q auf dem Leitkreis gibt es genau einen
doppelt-berührenden Kreis cdp aus der Schar, an welchem invertiert f und q vertauscht werden.
Die zugehörige Symmetrie zerlegt die Brennpunkte in 2 Brennpunkt-Paare { f , f2 }; { f3, f4 }.
Der Kreis cw durch f3, f4 und q schneidet den doppelt-berührenden Kreis in den Berührpunkten.
Der an cdb gespiegelte Kreis cw ist ein Kreis cw' durch f und f2. cdb und damit die Quartik sind winkelhabierende der
beiden Büschelkreise cw und cw'.
Der Mittelpunkt des Büschelkreises cw ist der Schnittpunkt der -Achse mit der Tangente in q an den Leitkreis!
Diese Konstruktion ist auch für die 1-teiligen Quartiken wie für die möbiustransformierten Kegelschnitte gültig!
Die Winkelhalbierenden-Eigenschaft zeigt, dass die Quartiken Lösungskurven der zu den Brennpunkten
gehörenden elliptischen Differentialgleichung sind.
Für 1-teilige bizirkulare Quartiken liegen die Brennpunkte spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen.
In der Normalform sind das die Achsen, Brennpunkte sind mit .
Der Leitkreis zu f für die -achsensymmetrischen doppelt-berührenden Kreise geht durch und den Spiegelpunkt von f
an dem Scheitelkreis durch die -Achsen-Scheitel. cw ist nun der Kreis aus dem hyperbolischen Kreisbüschel um
durch die jeweiligen Punkte q auf dem Leitkreis.
Die Winkelhalbierenden-Eigenschaft entspricht der von oben.
Das Applet oben soll zeigen, wie für den Fall, dass zwei der Brennpunkte zusammenfallen, 2 der Leitkreise ebenfalls
zusammenfallen. Wählt man den zusammenfallenden Brennpunkt als , so sind die bizirkulare Quartiken Mittelpunktskegelschnitte.
Der zusammenfallende Leitkreis ist der Leitkreis für die Tangenten an den Kegelschnitt.
Dies rechtfertigt, die Tangenten doppelt zu zählen, zum Beispiel für die Konstruktion von 6-Eck-Netzen aus Kreisen.
Der 3. Leitkreis wird zur Leitgeraden für die -Achsen-symmetrischen doppelt-berührenden Kreise.