Hipérbole = 2 Parábolas?
Aparentemente, poderíamos achar que uma Hipérbole equivale a duas Parábolas, mas com concavidades opostas. Será que isto é verdade?
Para explorar esta ideia, vamos realizar uma construção no GeoGebra para tentar "encaixar" uma Parábola em um dos ramos de uma Hipérbole. Obseve abaixo o passo a passo da construção, e ao mesmo tempo altere o controle deslizante "Passo a Passo" na construção.
Construção (Passo a Passo)
- Construa uma Hipérbole qualquer;
- Encontre a reta que passa pelos focos da Hipérbole ( deverá coincidir com o eixo da Parábola que estamos buscando);
- Encontre o ponto dado pela interseção de um dos ramos da Hipérbole com a reta (este ponto deverá coincider com o vértice da Paraábola);
- Escolha um ponto qualquer sobre a reta que possa ser movido ao longo desta reta (este ponto será o foco da Parábola);
- Encontre a reta ortogonal a reta tal que (esta reta d deverá ser a diretriz da Parábola);
- Construa a Parábola de foco e diretriz (isto pode ser feito com o comando
Parábola(F, d)); - Movimente o foco e tente "encaixar" a Parábola no ramo da Hipérbole.
Outra forma de observar que os ramos de uma Hipérbole não correspondem a uma Parábola é através das propriedades de reflexão das cônicas. Lembre-se que, para a Parábola, qualquer feixe paralelo ao eixo (perpendicular a diretriz) irá refletir de forma a passar pelo foco. Note na construção abaixo que o feixe (em vermelho) é paralelo ao eixo, mas ao refletir no ramo da Hipérbole não passa pelo foco. Você poderá mover o ponto ao longo deste ramo da Hipérbole para verificar que o mesmo ocorre em vários outros casos.
Ou seja, o formato de cada ramo da Hipérbole é diferente do formato de uma Parábola.